如图,△ABC中,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于D,BD=2,DC=3,求AD的长。小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换,巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路,探究并解答下列问题:
(1)AB、AC为对称轴,画出△ABD、△ACD的轴对称图形,D点的对称点为E、F,延长EB、FC相交于G点,证明四边形AEGF是正方形;
(2)设AD=x,利用勾股定理,建立关于x的方程模型,求出x的值.
(1)四边形AEGF是正方形; (2)x=12.
【解析】
试题分析:(1)先根据△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF,得出∠EAF=90°;再根据对称的性质得到AE=AF,从而说明四边形AEGF是正方形;
(2)利用勾股定理,建立关于x的方程模型(x﹣4)2+(x﹣6)2=102,求出AD=x=12.
试题解析:(1)证明:由题意可得:△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF.
∴∠DAB=∠EAB,∠DAC=∠FAC,又∠BAC=45°,
∴∠EAF=90°.
又∵AD⊥BC
∴∠E=∠ADB=90°,∠F=∠ADC=90°.
∴四边形AEGF是矩形,
又∵AE=AD,AF=AD
∴AE=AF.
∴矩形AEGF是正方形.
(2)解:设AD=x,则AE=EG=GF=x.
∵BD=4,DC=6
∴BE=4,CF=6
∴BG=x﹣4,CG=x﹣6
在Rt△BGC中,BG2+CG2=BC2,
∴(x﹣4)2+(x﹣6)2=102.
化简得,x2﹣10x﹣24=0
解得x1=12,x2=﹣2(舍去)
所以AD=x=12.
考点:折叠问题;全等三角形的判定与性质;勾股定理.
科目:初中数学 来源: 题型:
β+γ |
2 |
β+γ |
2 |
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