Question

【题目】如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点D、E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)若等边△ABC的边长为8，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

（1）连接、，先利用等腰三角形的性质证，再证为的中位线得，根据可得；

（2）连接、作，求出、的长及的度数，根据阴影部分面积计算可得．

(1)证明：连接OD、CD

∵DF⊥AC

∴∠AFD＝90°.

∵BC是⊙O的直径

∴∠CDB＝90°

∴CD⊥AB.

又∵△ABC是等边三角形

∴BD＝AD

∵OB＝OC

∴OD是△ABC的中位线

∴OD//AC

∴∠FDO＝∠AFD＝90°

∴OD⊥DF

∴DF是⊙O的切线

(2)连接OE，作OG⊥AC于G则∠OGF＝∠GFD＝∠FDO＝90°

∴四边形ODFG是矩形

∴OD＝FG＝

又∵OB＝OD＝OE＝OC，∠B＝∠ACB＝60°

∴△OBD、△OCE是等边三角形

∴∠BOD＝∠COE＝60°，CE＝OC＝4.

∴∠DOE＝60°，EG＝

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∴