Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连结DE，EF.

(1)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

(2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）能，理由详见解析；（2）当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形

【解析】

（1）能．首先证明四边形AEFD为平行四边形，当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，即60-4t=2t，解方程即可解决问题；

（2）分三种情形讨论①当∠DEF=90°时，②当∠EDF=90°时．③当∠EFD=90°，分别求解即可

解：(1)能．

理由：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，

∴DF＝2t，

又∵AE＝2t，

∴AE＝DF，

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF，

又∵AE＝DF，

∴四边形AEFD为平行四边形，

当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，

即60－4t＝2t，解得t＝10.

∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形；

(2)①当∠DEF＝90°时，由(1)知四边形AEFD为平行四边形，

∴EF∥AD，

∴∠ADE＝∠DEF＝90°，

∵∠A＝60°，

∴∠AED＝30°，

∴AD＝AE＝t，又AD＝60－4t，即60－4t＝t，

解得t＝12；

②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，

在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，

∴AD＝2AE，

即60－4t＝4t，解得t＝；

③若∠EFD＝90°，则E与B重合，

D与A重合，此种情况不存在．

综上所述，当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形