【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60 cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连结DE,EF.
(1)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;
(2)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
【答案】(1)能,理由详见解析;(2)当t=或12秒时,△DEF为直角三角形
【解析】
(1)能.首先证明四边形AEFD为平行四边形,当AE=AD时,四边形AEFD为菱形,即60-4t=2t,解方程即可解决问题;
(2)分三种情形讨论①当∠DEF=90°时,②当∠EDF=90°时.③当∠EFD=90°,分别求解即可
解:(1)能.
理由:在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=4t,
∴DF=2t,
又∵AE=2t,
∴AE=DF,
∵AB⊥BC,DF⊥BC,
∴AE∥DF,
又∵AE=DF,
∴四边形AEFD为平行四边形,
当AE=AD时,四边形AEFD为菱形,
即60-4t=2t,解得t=10.
∴当t=10秒时,四边形AEFD为菱形;
(2)①当∠DEF=90°时,由(1)知四边形AEFD为平行四边形,
∴EF∥AD,
∴∠ADE=∠DEF=90°,
∵∠A=60°,
∴∠AED=30°,
∴AD=AE=t,又AD=60-4t,即60-4t=t,
解得t=12;
②当∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形,
在Rt△AED中∠A=60°,则∠ADE=30°,
∴AD=2AE,
即60-4t=4t,解得t=;
③若∠EFD=90°,则E与B重合,
D与A重合,此种情况不存在.
综上所述,当t=或12秒时,△DEF为直角三角形
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【题目】把抛物线y=ax+bx+c的图象先向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得的图象的解析式是y=x-3x+5,则a+b+c=__________。
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【题目】如图,可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域,其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°.转动转盘,待转盘自动停止后,指针指向一个扇形的内部,则该扇形内的数字即为转出的数字,此时,称为转动转盘一次(若指针指向两个扇形的交线,则不计转动的次数,重新转动转盘,直到指针指向一个扇形的内部为止)
(1)转动转盘一次,求转出的数字是-2的概率;
(2)转动转盘两次,用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:
①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④当x>﹣1时,y的值随x值的增大而增大;⑤当函数值y<0时,自变量x的取值范围是x<-1或x>5.
其中正确的结论有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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【题目】如图,一架梯子AC长2.5米,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙0.7米.
(1)这个梯子的顶端距地面有多高?
(2)如果梯子的顶端下滑了0.4米到A′,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?
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【题目】直线y= x+2与x轴,y轴分别相交于A、B两点,与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点C(2,3).点P是反比例函数图象上一点,作PE垂直x轴于E,若以P、O、E为顶点的三角形与△AOB相似,则点P的坐标是________.
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【题目】已知:如图1所示,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90O,AB=AC,直线MN经过点A,BD⊥MN于点D,CE⊥MN于点E.
(1)试判断线段DE、BD、CE之间的数量关系,并说明理由;
(2)当直线MN运动到如图2所示位置时,其余条件不变,判断线段DE、BD、CE之间的数量关系。
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