Question

4．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，0为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0））、（0，4），抛物线y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c经过点B，且顶点在直线x=$\frac{5}{2}$上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由
（3）若M点是CD所在直线下方抛物线上的一个动点．过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为m．求m与t之间的函数关系式，并求m取最大值时，点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先求出AB的长，将A、B的坐标向右平移AB个单位，即可得出C、D的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可；
（3）根据C、D的坐标，易求得直线CD的解析式；那么线段MN的长实际是直线CD与抛物线的函数值的差，可将x=t代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为m的表达式，由此可求出m、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出m取最大值时，点M的坐标．

解答 解：（1）∵y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c的顶点在直线x=$\frac{5}{2}$上，
∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y=$\frac{2}{3}$（x-$\frac{5}{2}$）²+m，
∵点B（0，4）在此抛物线上，
∴4=$\frac{2}{3}$（0-$\frac{5}{2}$）²+m，
∴m=-$\frac{1}{6}$，
∴所求函数关系式为：y=$\frac{2}{3}$（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{10}{3}$x+4；

（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∵A、B两点的坐标分别为（-3，0））、（0，4），
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）；
当x=5时，y=$\frac{2}{3}$×5²-$\frac{10}{3}$×5+4=4，
当x=2时，y=$\frac{2}{3}$×2²-$\frac{10}{3}$×2+4=0，
∴点C和点D在所求抛物线上；

（3）设直线CD对应的函数关系式为y=kx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{5k+n=4}\\{2k+n=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{n=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$；
∴y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$．
∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，
∴N点的横坐标也为t；
则y_M=$\frac{2}{3}$t²-$\frac{10}{3}$t+4，y_N=$\frac{4}{3}$t-$\frac{8}{3}$，
∴m=y_N-y_M=（$\frac{4}{3}$t-$\frac{8}{3}$）-（$\frac{2}{3}$t²-$\frac{10}{3}$t+4）
=-$\frac{2}{3}$（t-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
∵-$\frac{2}{3}$＜0，
∴当t=$\frac{7}{2}$时，m_最大=$\frac{3}{2}$，此时y_M=$\frac{2}{3}$×（$\frac{7}{2}$）²-$\frac{10}{3}$×$\frac{7}{2}$+4=$\frac{1}{2}$．
此时点M的坐标为（$\frac{7}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 此题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数最值的求法等知识，难度适中．应用方程思想与数形结合是解题的关键．