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如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,P是△OAC的重心,且OP,∠A=30º.

(1)求劣弧的长;
(2)若∠ABD=120º,BD=1,求证:CD是⊙O的切线.
(1) (2)要证明切线,即证明其与圆的直径成直角,利用全等三角形,可以求出对应角相等,进而证明出直角.

试题分析:(1)延长OPACE
P是△OAC的重心,
,                   
EAC的中点.,∵,∴OEAC.
在Rt△OAE中,∵,∴∴         
. ∴
(2)证明:连结BC.
EO分别是线段ACAB的中点,
BCOE,且BC=2OE=2=OBOC
∴△OBC是等边三角形. ∴∠OBC=60°.
∵∠OBD=120°,∴∠CBD=60°=∠AOE.
∵ BD=1=OEBCOA,∴△OAE ≌△BCD
∴∠BCD=30°. ∵∠OCB=60°, ∴∠OCD=90°.
CD是⊙O的切线.
点评:题目难度一般,利用重心,可以知道线段为分段,学生可以尝试多做此类题目,一般来讲证明切线的题万变不离其宗
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为点M,AB=20,分别以DM、CM为直径作两个大小不同和⊙O1和⊙O2,则图中所示阴影部分的面积为          .(结果保留

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,⊙O的半径为5cm,则圆心到AB的距离为         
 

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F,则线段EF长度的最小值是     (   )

A. 2.4;   B. 2;   C. 2.5;   D. .

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,在△ABC中,BC=4,以点A为圆心,2为半径的⊙A与BC相切于点D,交AB于点E,交AC于点F,点P是⊙A上的一点,且∠EPF=45°,则图中阴影部分的面积为___________.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

两圆内切,其中一个圆的半径为5,两圆的圆心距为2,则另一个圆的半径是         

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

矩形ABCD中,AB=8,BC=3,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是(    )
A.点B、C均在圆P外              B.点B在圆P外、点C在圆P内
C.点B在圆P内、点C在圆P外     D.点B、C均在圆P内

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.

(1)求证:AE与⊙O相切;
(2)当BC=4,cosC=时,求⊙O的半径.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,CD是半圆O的一条弦,CD∥AB,延长OA、OB至F、E,使,联结FC、ED,CD=2,AB=6。

(1)求∠F的正切值;
(2)联结DF,与半径OC交于H,求△FHO的面积。

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