Question

如图甲，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不运动至M，C），以AB为直径作⊙O，过点P的切线交AD于点F，切点为E．
（1）求四边形CDFP的周长；
（2）请连接OF，OP，求证：OF⊥OP；
（3）延长DC，FP相交于点G，连接OE并延长交直线DC于H（如图乙）．是否存在点P使△EFO∽△EHG（其对应关系是E←→E，F←→H，O←→G）？如果存在，试求此时的BP的长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由ABCD为正方形，得到∠A与∠B都为直角，根据切线的判断方法，得到AD与BC都为圆的切线，又PF为圆O的切线，根据切线长定理即可得到FE=FA，PE=PB，根据等量代换的方法得到四边形CDFP的周长等于AD+BC+CD，根据正方形的边长为2，求出周长即可；
（2）连接OF，OP，OE，由AF，BP是⊙O的切线，PF是⊙O的切线，根据切线长定理即可得∠EOF=∠AOF，∠EOP=∠BOP，又由∠AOF+∠EOF+∠EOP+∠BOP=180°，即可证得OF⊥OP；
（3）存在．理由是：当Rt△EFO∽Rt△EHG时，必须使∠EHG=∠EFO，而根据平行得到∠EHG=∠EOA=2∠EOF，即∠EFO=2∠EOF，又因为∠FEO为90°，所以∠EOF=∠AOF=30°，根据30°的正切值求出AF的长即为y的值，然后代入（2）中的函数关系式即可求出x的值．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴AF，BP是⊙O的切线，
又∵PF是⊙O的切线，
∴FE=FA，PE=PB，
∴四边形CDFP的周长为：CD+DF+EF+CP=AD+DC+CB=6；

（2）证明：连接OF，OP，OE，
∵AF，BP是⊙O的切线，PF是⊙O的切线
∴∠EOF=∠AOF，∠EOP=∠BOP，
∵∠AOF+∠EOF+∠EOP+∠BOP=180°，
∴2∠FOE+2∠EOP=180°，
∴∠EOF+∠EOP=90°，
∴OF⊥OP；

（3）解：存在．理由如下：
∵∠EOF=∠AOF，
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，
当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，
设AF=y，BP=x，
此时在Rt△AFO中，
y=AF=OA•tan30°=

3

3

，
即x=

1

y

=

3

，
解得：x=

3

 ，y=

3

3

，
∴当 x=

3

，y=

3

3

时，△EFO∽△EHG．

点评：此题综合考查了切线长定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．