Question

如图，已知抛物线y=-3x²-（2c-b）x+a²，其中a、b、c是一个直角三角形的三边的长，且a＜b＜c，又知这个三角形两锐角的正弦值分别是方程25x²-35x+12=0的两个根．
（1）求a：b：c；
（2）设这条抛物线与x轴的左、右交点分别是M、N，与y轴的交点为T，顶点为P，求△MPT的面积（用只含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，如果△MPT的面积为9，问抛物线上是否存在异于点P的点Q，使得△QMT的面积与△MPT的面积相等？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可判断c为斜边，解方程得x₁=

3

5

，x₂=

4

5

，即

a

c

=

3

5

，

b

c

=

4

5

，可求a：b：c；
（2）过P点作PQ⊥x轴，垂足为Q，用a表示P、M、T三点坐标，根据S_△MPT=S_△PMQ+S_梯形PQOT-S_△TMO求面积；
（3）存在．根据已知面积求a的值，确定抛物线解析式及M、T两点坐标，得出直线MT解析式，过P作PQ∥MT，交抛物线于点Q，求直线PQ解析式，与抛物线解析式联立，可求Q点坐标，向下平移直线PQ，可求Q点的另外两个坐标．

解答：解：（1）∵a、b、c是一个直角三角形的三边的长，且a＜b＜c，∴c为斜边，
解方程25x²-35x+12=0，得x₁=

3

5

，x₂=

4

5

，即

a

c

=

3

5

，

b

c

=

4

5

，
∴a：b：c=3：4：5；

（2）过P点作PQ⊥x轴，垂足为Q，由（1）可知b=

4

3

a，c=

5

3

a，
则y=-3x²-（2c-b）x+a²=-3x²-2ax+a²，
∴由二次函数的性质，得P（-

a

3

，

4

3

a²）、M（-a，0）、T（0，a²），
∴S_△MPT=S_△PMQ+S_梯形PQOT-S_△TMO
=

1

2

×（-

a

3

+a）×

4

3

a²+

1

2

×（

4

3

a²+a²）×

a

3

-

1

2

×a×a²=

1

3

a³；

（3）存在．由已知S_△MPT=9，即

1

3

a³=9，解得a=3，∴M（-3，0）、T（0，9），
直线MT解析式为y=3x+9，抛物线解析式为y=-3x²-6x+9，
过P作PQ∥MT，交抛物线于点Q，
设直线PQ解析式为y=3x+m，将P（-1，12）代入，得y=3x+15，
联立

y=3x+15 y=-3x2-6x+9

，解得

x=-1 y=12

或

x=-2 y=9

，∴Q（-2，9），
将直线PQ向下平移12个单位，得y=3x+3，联立

y=3x+3 y=-3x2-6x+9

，
解得

x= -3- 17 2 y= -3-3 17 2

或

x= -3+ 17 2 y= -3+3 17 2

，
∴Q（

-3- 17

2

，

-3-3 17

2

）或（

-3+ 17

2

，

-3+3 17

2

），
综上所述Q（-2，9）或（

-3- 17

2

，

-3-3 17

2

）或（

-3+ 17

2

，

-3+3 17

2

）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意求出抛物线解析式，利用割补法求三角形面积，利用平行线求面积相等的三角形顶点坐标．