Question

【题目】某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

Answer 1

【答案】（1） ；（2）w=-x2+300x-10400（50≤x≤80）；w=-3x2+540x-16800（80＜x＜140）；（3）售价定为90元．利润最大为7500元．

【解析】

（1）当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，y=260-x，50≤x≤80，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，y=420-3x，80＜x＜140，
（2）由利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，
（3）分别求出两个定义域内函数的最大值，然后作比较．

（1）当50≤x≤80时，y=210-（x-50），即y=260-x，
当80＜x＜140时，y=210-（80-50）-3（x-80），即y=420-3x．
则 ，
（2）由利润=（售价-成本）×销售量可以列出函数关系式
w=-x2+300x-10400（50≤x≤80）
w=-3x2+540x-16800（80＜x＜140），
（3）当50≤x≤80时，w=-x2+300x-10400，
当x=80有最大值，最大值为7200，
当80＜x＜140时，w=-3x2+540x-16800，
当x=90时，有最大值，最大值为7500，
故售价定为90元．利润最大为7500元．