Question

已知四边形ABCD是正方形，M、N分别是边BC、CD上的动点，正方形ABCD的边长为4cm．

（1）如图①，O是正方形ABCD对角线的交点，若OM⊥ON，求四边形MONC的面积；
（2）如图②，若∠MAN=45°，求△MCN的周长．

Answer 1

分析：（1根据正方形性质得出OC=OB，∠DCO=∠CBO=45°，∠COB=90°，求出∠NOC=∠BOM，根据ASA证△NOC≌△MOB，得出四边形MONC的面积等于三角形COB的面积，根据正方形的面积求出即可；
（2）延长CB到Q使BQ=DN，连接AQ，根据SAS证△DAN≌△BAQ，求出AN=AQ，∠DAN=∠BAQ，求出∠NAM=∠MOQ=45°，根据SAS证△NAM≌△QAM，推出DN+BM=MN，根据三角形的周长得出△CNM的周长等于DC+BC，代入求出即可．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OB，∠DCO=∠CBO=45°，∠COB=90°，
∵ON⊥OM，
∴∠NOM=90°，
∴∠COB-∠COM=∠NOM-∠COM，
∴∠CON=∠BOM，
∵在△CON和△BOM中

∠NCO=∠MBO OC=OB ∠NOC=∠MOB

，
∴△CON≌△BOM（ASA），
∴S_△NCO=S_△BOM，
∴S_{四边形MONC}
=S_△NOC+S_△COM
=S_△BOM+S_△COM
=S_△COB=

1

4

S_{正方形ABCD}
=

1

4

×4cm×4cm
=4cm²，
答：四边形MONC的面积是4cm²．
（2）
解：延长CB到Q，使BQ=DN，连接AQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABC=∠ABQ=90°，
∵在△ADN和△ABQ中

AD=AB ∠D=∠ABQ DN=BQ

，
∴△ADN≌△ABQ（SAS），
∴∠DAN=∠BAQ，AN=AQ，
∵∠DAB=90°，∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠BAM=45°，
∴∠BAM+∠QAB=45°，
即∠MAN=∠MAQ，
∵在△MAN和△MAQ中

AN=AQ ∠NAM=∠MAQ AM=AM

，
∴△MAN≌△MAQ，
∴MN=MQ=DN+BM，
∴△MCN的周长是：CN+MN+CM
=CN+DN+BM+CM
=DC+BC
=4cm+4cm
=8cm．

点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是考查学生的推理能力，题目具有一定的代表性，是一道综合性比较强的题目，有一定的难度．