Question

（2012•台江区模拟）（1）如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，若AE⊥BC，AF⊥CD．求证：AE=AF．
（2）某校数学兴趣小组要测量教学楼的高度．如图，他们在C处测得教学楼的最高点A的仰角为30°，再往教学楼的方向前进50m至D处，测得最高点A的仰角为60°．求教学楼高度AB的值（结果保留根号）．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是菱形，可得BD=CD，又由AE⊥BC，AF⊥CD，利用菱形的面积S_菱形ABCD=BD•AE=CD•AF，即可证得AE=AF．
（2）首先设AB=xm，根据题意：∠ADB=60°，∠ACD=30°，CD=50m，然后分别在Rt△ABD与Rt△ABC中，利用正切函数，即可表示出BD与BC的值，继而可得方程：

3

x-

3

3

x=50，解此方程即可求得答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=CD，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴S_菱形ABCD=BD•AE=CD•AF，
∴AE=AF．

（2）解：设AB=xm，
根据题意：∠ADB=60°，∠ACD=30°，CD=50m，
在Rt△ABD中，BD=

AB

tan60°

=

3

3

x（m），
在Rt△ABC中，BC=

AB

tan30°

=

3

x（m），
∵CD=BC-BD，
∴

3

x-

3

3

x=50，
解得：x=25

3

，
∴教学楼高度AB的值为：25

3

m．

点评：此题考查了菱形的性质与方向角问题．此题难度适中，注意能借助于解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．