如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+$\frac{7}{2}$x+c经过A（8，0）、B（0，4）两点．分析 （1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）利用待定系数法可求得直线AB的解析式，由题意可知OE=2t，则用t可表示出P、Q的坐标，从而可表示出PQ的长，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时的t的值；
（3）由条件可知只能∠PAM=90°，利用待定系数法可求得直线AC的解析式，则可设出直线AP的解析式，利用A点坐标可求得直线AP的解析式，联立直线AP和抛物线解析式可求得满足条件的点P的坐标．
解答 解：
（1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{64a+\frac{7}{2}×8+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{7}{2}$x+4；
（2）设直线AB解析式为y=kx+b，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4，
由题意可得OE=2t，
∴E（2t，0），
∴P（2t，-2t2+7t+4），Q（2t，-t+4），
∴PQ=（-2t2+7t+4）-（-t+4）=-2t2+8t=-2（t-2）2+8，
∵-2＜0，
∴当t=2时，PQ有最大值，最大值为8；
（3）∵PM∥y，
∴∠AMP=∠ACO=90°，
∵∠APM是锐角，
∴要使△PAM的内角为直角，只能是∠PAM=90°，
∴AC⊥AP，
∵AB=AC，AO⊥BC，
∴OB=OC=4，
∴C（0，-4），
∴可设直线AC解析式为y=sx-4，
把A点坐标代入可得0=8s-4，解得s=$\frac{1}{2}$，
∴直线AC解析式为y=$\frac{1}{2}$x-4，
∴可设直线AP解析式为y=-2x+m，
把A点坐标代入解得m=16，
∴直线AP解析式为y=-2x+16，
联立直线AP和抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+16}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{7}{2}x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=10}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去），
∴P点坐标为（3，10），
即存在满足条件的P点，其坐标为（3，10）．
点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、函数图象的交点、两垂直直线的关系等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用t表示出PQ的长是解题的关键，在（3）中求得直线AP的解析式是解题的关键，注意利用题目中所给的两垂直直线之间的关系．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
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已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．求证：AP=BQ．