Question

16．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，直线m经过点C，分别过点A，B作直线m的垂线，垂足分别为点E，F，若AE=3，AC=5，则线段EF的长为1或7．

Answer 1

分析 分两种情况：①如图1所示：先证出∠1=∠3，由勾股定理求出CE，再证明△BCF≌△CAE，得出对应边相等CF=AE=3，得出EF=CE-CF即可；
②如图2所示：先证出∠1=∠3，由勾股定理求出CE，再证明△BCF≌△CAE，得出对应边相等CF=AE=3，得出EF=CE+CF即可．

解答 解：分两种情况：①如图1所示：
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵BF⊥m，
∴∠BFC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵AE⊥m，
∴∠AEC=90°，
∴CE=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
在△BCF和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠1}&{\;}\\{∠BFC=∠AEC=90°}&{\;}\\{BC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△CAE（AAS），
∴CF=AE=3，
∴EF=CE-CF=4-3=1；
②如图2所示：
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵BF⊥m，
∴∠BFC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵AE⊥m，
∴∠AEC=90°，
∴CE=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
在△BCF和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠1}&{\;}\\{∠BFC=∠AEC=90°}&{\;}\\{BC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△CAE（AAS），
∴CF=AE=3，
∴EF=CE+CF=4+3=7；
综上所述：线段EF的长为：1或7．
故答案为：1或7．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、互余两角的关系；本题有一定难度，需要进行分类讨论，作出图形才能求解．