Question

11．如图，△ABC中，M，N分别是BC，AC的中点，BH是AC边上的高线，∠HMN=45°，MP垂直∠HMN的平分线并交AC于点P，若PH=$\frac{1}{2}$（AB+BC），求证：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 作辅助线，在Rt△BHC中，根据直角三角形斜边上的中线得：MH=$\frac{1}{2}$BC，由中位线定理得：MN=$\frac{1}{2}$AB，MN∥AB，根据PH=$\frac{1}{2}$（AB+BC）可得：PH=HK，则△PHK是等腰三角形，再证明△PMN≌△PMK（SAS），得∠CNM=∠K，设∠CHM=α，
分别表示出∠A和∠ABC的度数，发现都等于90°-$\frac{1}{2}$α，则∠A=∠ABC，所以△ABC是等腰三角形．

解答 证明：延长HM至点K，使得MN=MK，作∠NMH的交平分线交AC于点G，连接PK，
∵BH⊥AC，M是BC的中点，
∴MH=$\frac{1}{2}$BC，
∵M、N分别是BC、AC的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$AB，MN∥AB，
∵PH=$\frac{1}{2}$（AB+BC），
∴PH=$\frac{1}{2}$AB+$\frac{1}{2}$BC=MN+MH=MK+MH=KH，
∵MG平分∠NMH，∠NMH=45°，
∴∠3=∠4=22.5°，
∵PM⊥MG，
∴∠1=∠2=67.5°，
在△PMN和△PMK中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{MN=MK}\\{∠1=∠2}\\{PM=PM}\end{array}\right.$，
∴△PMN≌△PMK（SAS），
∴∠CNM=∠K，
设∠CHM=α，
∵HK=HP，
∴∠K=∠HPK=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$α，
则∠CNM=∠K=90°-$\frac{α}{2}$，
∵MN∥AB，
∴∠A=∠CNM=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠ABC=180°-∠C-∠A=180°-α-90°+$\frac{1}{2}$α=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠A=∠ABC，
∴△ABC是等腰三角形．

点评 本题考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线的性质，比较复杂，难度较大，熟练掌握这此定理及性质是解题的关键，本题从直角三角形斜边中点为突破口，利用了直角三角形斜边中线的性质得出边相等，从而得出角的关系，设未知数，将所要求的∠A和∠ABC的度数表示出来，得出相等关系，利用等腰三角形的判定得出结论．