Question

1．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．试说明：
（1）∠MBN=45°；
（2）△MFN∽△BDC．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出AM⊥BC，AM平分∠BAC，由角的关系求出∠MNB=∠NAB+∠ABN=$\frac{1}{2}$（∠EAB+∠EBA）=45°，即可得出∠MBN=45°；
（2）由三角形中位线定理得出FM∥AC，FM=$\frac{1}{2}$AC，得出$\frac{FM}{BD}$=$\frac{1}{2}$，由（1）知△BMN是等腰直角三角形，得出MN=BM=$\frac{1}{2}$BC，证出$\frac{FM}{BD}$=$\frac{MN}{BC}$，再证出∠NMF=∠CBD，即可得出△MFN∽△BDC．

解答 证明：（1）∵AB=AC，点M是BC的中点，
∴AM⊥BC，AM平分∠BAC，
∵BN平分∠ABE，
∴∠EBN=∠ABN，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=$\frac{1}{2}$（∠EAB+∠EBA）=45°，
∴∠MBN=45°；
（2）∵点F，M分别是AB，BC的中点，
∴FM∥AC，FM=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=BD，
∴FM=$\frac{1}{2}$BD，即$\frac{FM}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
由（1）知△BMN是等腰直角三角形，
∴MN=BM=$\frac{1}{2}$BC，即$\frac{MN}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{FM}{BD}$=$\frac{MN}{BC}$，
∵AM⊥BC，
∴∠NMF+∠FMB=90°，
∵FM∥AC，
∴∠ACB=∠FMB，
∵∠CEB=90°，
∴∠ACB+∠CBD=90°，
∴∠CBD+∠FMB=90°，
∴∠NMF=∠CBD，
∴△MFN∽△BDC．

点评 本题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．