Question

【题目】如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB= BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②SABCD=ABAC；③OB=AB；④OE= BC，成立的个数有（ ）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠EAD=60°

∴△ABE是等边三角形，

∴AE=AB=BE，

∵AB= BC，

∴AE= BC，

∴∠BAC=90°，

∴∠CAD=30°，故①正确；

∵AC⊥AB，

∴SABCD=ABAC，故②正确，

∵AB= BC，OB= BD，

∵BD＞BC，

∴AB≠OB，故③错误；

∵CE=BE，CO=OA，

∴OE= AB，

∴OE= BC，故④正确．
故C符合题意.

故答案为：C．

解答此题的关键是掌握平行四边形的性质和证得△ABE是等边三角形.在平行四边形的性质易得△ABE是等边三角形，又由，证得①；继而证得AC⊥AB，得到②；可得OE是△ABC的中位线，从而得到，可证得④.由,，BD>BC，可得AB≠OB可得③错误.