Question

8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（-2，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD，过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．∠DFE的度数是否为定值？如果是，请求出∠DFE度数，并写出推理过程；如果不是，请直接写出它的范围．
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出直线AB的函数解析式；
（2）先证出△BDO≌△COD，得出∠BDO=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，再连结PE，根据∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再证出∠DFE=∠DPE=45°，最后根据∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，得到答案；
（3）BD：BF=2：1时，过点F作FH⊥OB于点H，证出△BOD∽△FHB，再根据∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4OD，根据DE=EF，求出OD的长，从而得出直线CD的解析式，最后根求出点P的坐标即可；连结EB，先证出△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同理可得△BOD∽△FGB，得出FG，ODBG，再证出四边形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直线CD的解析式，最后根即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）设直线AB的函数解析式为：y=kx+b，
由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
则直线AB的函数解析式为：y=-x+2；
（2）如图1，连结PE，
在△BDO和△CDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠DOB=∠DOC}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△BDO≌△CDO，
∴∠BDO=∠CDO，
∵∠CDO=∠ADP，
∴∠BDE=∠ADP，
∵∠ADP是△DPE的一个外角，
∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，
∵∠BDE是△ABD的一个外角，
∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，
∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，
∴∠DPE=∠OAB，
∵OA=OB=6，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠DPE=45°，
∴∠DFE=∠DPE=45°，
∵DF是⊙Q的直径，
∴∠DEF=90°，
∴∠DFE=45°；
（3）当BD：BF=2：1时，
①如图2，过点F作FH⊥OB于点H，
∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，
∴∠DBO=∠BFH，
又∵∠DOB=∠BHF=90°，
∴△BOD∽△FHB，
∴$\frac{OB}{HF}$=$\frac{OD}{HB}$=$\frac{BD}{FB}$=2，
∴FH=1，OD=2BH，
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，
∴四边形OEFH是矩形，
∴OE=FH=1，
∴EF=OH=2-$\frac{1}{2}$OD，
∵DE=EF，
∴1+OD=2-$\frac{1}{2}$OD，
解得：OD=$\frac{2}{3}$，
∴点D的坐标为（0，$\frac{2}{3}$），
∴直线CD的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（1，1）；
当BD：BF=1：2时，
如图3，连结EB，同（2）可得：∠ADB=∠EDP，
∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，
∵∠DEB=∠DPA，
∴∠DBE=∠DAP=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，
同理可得：△BOD∽△FGB，
$\frac{OB}{GF}$=$\frac{OD}{GB}$=$\frac{BD}{FB}$=$\frac{1}{2}$，
∴FG=4，OD=$\frac{1}{2}$BG，
∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，
∴四边形OEFG是矩形，
∴OE=FG=4
∴EF=OG=2+2OD，
∵DE=EF，
∴4-OD=2+2OD，
解得，OD=$\frac{2}{3}$，
∴点D的坐标为（0，-$\frac{2}{3}$）
直线CD的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{2}{3}$，
∴点P的坐标为（4，-2），
综上所述，点P的坐标为（1，1）或（4，-2）．

点评 此题主要考查了圆的综合，用到的知识点是一次函数、矩形的性质、圆的性质，关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组．