Question

如图，二次函数y=

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x²-2x+c的图象与x轴分别交于A，B两点，顶点M关于x轴的对称点是M．
（1）若A（-2，0），求二次函数的关系式；
（2）在（1）的条件下，求四边形AMBM的面积．
（3）当c=0时，试判断四边形AMBM的形状，并请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的性质

专题：

分析：（1）把点A的坐标代入二次函数解析式，计算求出c的值，即可得解；
（2）把二次函数解析式整理成顶点式解析式，根据二次函数的对称性求出点B的坐标，从而求出AB的长，再根据顶点坐标求出点M到x轴的距离，然后求出△ABM的面积，根据对称性可得S_{四边形AMBM′}=2S_△ABM，计算即可得解；
（3）四边形AMBM的形状是正方形，易求A，B的坐标，又因为AB和MM′互相平分且垂直，所以四边形是正方形．

解答：解：（1）∵A（-2，0）在二次函数y=

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x²-x+c的图象，

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×（-2）²-（-2）+c=0，
解得c=-6，
∴二次函数的关系式为y=

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x²-2x-6；

（2）∵y=

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x²-2x-6=

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（x-2）²-8，
∴顶点M的坐标为（2，-8），
∵A（-2，0），对称轴为x=2，
∴点B的坐标为（6，0），
∴AB=6-（-2）=6+2=8，
∴S_△ABM=

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×8×8=32，
∵顶点M关于x轴的对称点是M′，
∴S_{四边形AMBM′}=2S_△ABM=2×32=64；

（3）四边形AMBM的形状是正方形，
理由如下：
∵c=0，
∴y=

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x²-2x，
∴A坐标（0，0）B坐标（4，0），
∴顶点M坐标为（2，-2），
∴AB=MM′
又∵AB和MM′互相平分且垂直，
∴四边形AMBM的形状是正方形．

点评：本题综合考查了二次函数的问题，主要利用了待定系数法求函二次数解析式，二次函数的顶点坐标的求解，二次函数的对称性，以及正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质，综合题，但难度不是很大．