【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点和点,顶点为.
(1)求这条抛物线的表达式和顶点的坐标;
(2)点关于抛物线对称轴的对应点为点,联结,求的正切值;
(3)将抛物线向上平移个单位,使顶点落在点处,点落在点处,如果,求的值.
【答案】(1),;(2)3;(3)
【解析】
(1)根据待定系数法,即可求解;
(2)根据题意,画出图形,由OD=,OB=5,可得:∠OBD=∠ODB,即可求解;
(3)根据题意:可得:BE=,BF=t,列出关于t的方程,即可求解.
(1)∵抛物线经过点和点,
∴,解得:,
∴抛物线的表达式是:,
即:,
∴;
(2)∵抛物线的对称轴是:直线x=3,点关于抛物线对称轴的对应点为点,
∴点D的坐标(4,-3),
∴OD=,
∵OB=5,
∴OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
过点D作DE⊥x轴,则DE=3,BE=5-4=1,
∴tan∠ODB=tan∠OBD==3;
(3)∵抛物线向上平移个单位,使顶点落在点处,点落在点处,
∴E(3,-4+t),F(5,t),
∴BE==,BF=t,
∵,
∴=t,解得:t=.
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【题目】阅读下列材料:
已知实数m,n满足(2m2+n2+1)(2m2+n2-1)=80,试求2m2+n2的值.
解:设2m2+n2=t,则原方程变为(t+1)(t-1)=80,整理得t2-1=80,t2=81,
所以t=土9,因为2m2+n2>0,所以2m2+n2=9.
上面这种方法称为“换元法”,把其中某些部分看成一个整休,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容,解决下列问题,并写出解答过程.
(1)已知实数x、y,满足(2x2+2y2+3)(2x2+2y2-3)=27,求x2+y2的值.
(2)已知Rt△ACB的三边为a、b、c(c为斜边),其中a、b满足(a2+b2)(a2+b2-4)=5,求Rt△ACB外接圆的半径.
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【题目】如图,已知⊙O的半径为1,AC是⊙O的直径,过点C作⊙O的切线BC,E是BC的中点,AB交⊙O于D点.
(1)直接写出ED和EC的数量关系:_________;
(2)DE是⊙O的切线吗?若是,给出证明;若不是,说明理由;
(3)填空:当BC=_______时,四边形AOED是平行四边形,同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是_______.
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+4k﹣3=0,
(1)求证:无论k取什么实数值,该方程总有两个不相等的实数根?
(2)当Rt△ABC的斜边a=,且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时,求k的值.
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【题目】综合实践:
问题情境
数学活动课上,老师和同学们在正方形中利用旋转变换探究线段之间的关系探究过程如下所示:如图I,在正方形中,点为边的中点.将以点为旋转中心,顺时针方向旋转,当点的对应点落在边上时,连接.
“兴趣小组”发现的结论是:;
“卓越小组”发现的结论是:.
解决问题
(1)请你证明“兴趣小组”和“卓越小组”发现的结论;
拓展探究
证明完“兴趣小组”和“卓越小组”发现的结论后,“智慧小组”提出如下问题:如图2,连接,若正方形的边长为,求出的长度.
(2)请你帮助智慧小组写出线段的长度.(直接写出结论即可)
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【题目】某校七年级一班和二班各派出10名学生参加一分钟跳绳比赛,成绩如下表:
跳绳成绩(个) | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 |
一班人数(人) | 1 | 0 | 1 | 5 | 2 | 1 |
二班人数(人) | 0 | 1 | 4 | 1 | 2 | 2 |
(1)两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均数、方差如下表:
众数 | 中位数 | 平均数 | 方差 | |
一班 | a | 135 | 135 | c |
二班 | 134 | b | 135 | 1.8 |
表中数据a= ,b= ,c= ;
(2)请用所学的统计知识,从两个角度比较两个班跳绳比赛的成绩.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,点E为AD的中点,不用圆规、量角器等工具,只用无刻度的直尺作图.
(1)如图1,在BC上找点F,使点F是BC的中点;
(2)如图2,连接AC,在AC上取两点P,Q,使P,Q是AC的三等分点.
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【题目】将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点C在x轴上,OA=5,OC=13,如图所示,在OA上取一点E,将△EOC沿EC折叠,使O点落在AB边上的D点,则E点坐标为_____.
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【题目】超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销售单价增加元,每天售出件.
(1)请写出与之间的函数表达式;
(2)当为多少时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元?
(3)设超市每天销售这种玩具可获利元,当为多少时最大,最大值是多少?
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