Question

（2008•太原）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y=-x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标；
（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，代入直线解析式求出B，C点坐标．联立方程组后可求出点A的坐标．
（2）当△CBD为等腰三角形时，分三种情况讨论（BD₁=D₁C；BC=BD₂；CD₃=BC，或CD₄=BC），依靠辅助线的帮助求出点D的坐标．
（3）本题也要借助辅助线的帮助．分为三种情况讨论（当四边形AE₁OD₁为平行四边形；当四边形AD₂E₁O为平行四边形时；当四边形AOD₁E₂为平行四边形时）．
解答：解：（1）在y=x+1中，当y=0时，x+1=0，∴x=-1，点B的坐标为（-1，0）． （1'）
在y=-x+3中，当y=0时，-x+3=0，∴x=4，点C的坐标为（4，0）． （2分）
由题意，得解得
∴点A的坐标为（，）．（3分）

（2）当△CBD为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点D的坐标为（x，y）．
由（1），得B（-1，0），C（4，0），∴BC=5．
①当BD₁=D₁C时，过点D₁作D₁M₁⊥x轴，垂足为点M₁，则BM₁=M₁C=BC．
∴BM₁=，OM₁=-1=，x=．
∴y=-，点D₁的坐标为．（4分）
②当BC=BD₂时，过点D₂作D₂M₂⊥x轴，垂足为点M₂，则D₂M₂²+M₂B²=D₂B²，
∵M₂B=-x-1，D₂M₂=-x+3，D₂B=5，
∴（-x-1）²+（-x+3）²=5²．
解得x₁=-，x₂=4（舍去）．此时，．
∴点D₂的坐标为． （6分）
③当CD₃=BC，或CD₄=BC时，同理可得D₃（0，3），D₄（8，-3）．（9分）
由此可得点D的坐标分别为D₁（，），D₂（-，），D₃（0，3），D₄（8，-3）．
评分说明：符合条件的点有4个，正确求出1个点的坐标得（1分），2个点的坐标得（3分），3个点的坐标得（5分），4个点的坐标得满分；与所求点的顺序无关．

（3）存在．以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，如图（2）．
①当四边形AE₁OD₁为平行四边形时，． （10分）
②当四边形AD₂E₁O为平行四边形时，=．（11分）
③当四边形AOD₁E₂为平行四边形时，．（12分）
点评：本题考查的是二元一次方程组的应用，平行四边形的判定以及线段比的有关知识，难度中上．