Question

23、如果给你一副带有刻度的三角板，请你画出∠AOB的平分线．下面三位同学是这样设计的，
（1） 小亮是这样做的：
①分别在OA，OB上量取OM=ON，连接MN．
②取MN的中点P．
③作射线OP
那么OP是∠AOB的平分线


（2）小明是这样做的：
①分别在OA，OB上量取OM=ON，MR=NS
②连接MS，NR交于P
③作射线OP
那么OP是∠AOB的平分线．那么OP是∠AOB的平分线．                                      

（1）以上2位同学的设计你认为正确吗？若正确，请对正确做法加以证明，若不正确，请简要说明理由．
（2）请你根据以上信息，创造新的证明角平分线的做法，在备用图上画出图形，并证明其可行性．

Answer 1

分析：（1）小亮根据全等三角形的判定定理SSS即可证出答案；小明根据全等三角形的判定SAS得到△ONR≌△OMS，推出∠OSM=∠ORN，即可证出△NSP≌△MPR和△ONP≌△OMP，能推出∠MOP=∠POA，即可得到答案．
（2）由作法可知MO=MP和MP∥OA，可推出∠MOP=∠MPO=∠POA，即可得到答案．

解答：解：（1）都正确．
小亮的证明过程；
∵ON=OM，NP=PM，OP=OP
∴△ONP≌△OMP（SSS）
∴∠NOP=∠MOP，
即：OP是∠AOB的平分线．

小明的证明过程：
∵ON=OM，NS=SM
∴OS=OR
∵∠MON=∠MON
∴△ONR≌△OMS（SAS）
∠OSM=∠ORN
∴△NSP≌△MPR（AAS）
∴NP=MP
∴△ONP≌△OMP（SSS）
∴∠NOP=∠MOP，
即：OP是∠AOB的平分线．

（2）解：可以这样做：
①在OB上任取一点M
②过M作MN∥OA，在MN上量取MP=OM
③作射线OP
则OP是∠AOB的平分线．
证明：
∵MO=MP，
∴∠MON=∠MPN，
∵MP∥OA
∴∠MPO=∠POA，
∴∠MOP=∠POA，
即OP是∠AOB的平分线．

点评：本题主要考查了全等三角形的性质和判定，作图与基本作图，平行线的性质，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是能灵活运用性质进行证明和作图．