Question

如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧CBA上一点（不与A、C重合）
（1）求∠APC与∠ACD的度数；
（2）当点P移动到弧CB的中点时，四边形OBPC是什么特殊的四边形，说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AC，由直径AB=4，得到半径OA=OC=2，又AC=2，得到AC=OC=OA，即三角形AOC为等边三角形，可得出三个内角都为60°，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，得到∠APC为30°，由CD为圆O的切线，得到OC垂直于CD，可得出∠OCD为直角，用∠OCD-∠OCA可得出∠ACD的度数；
（2）当点P移动到弧CB的中点时，四边形OBPC是菱形，由∠AOC为60°，AB为圆O的直径，得到∠BOC=120°，再由P为弧BC的中点，得到两条弧相等，根据等弧对等角，可得出∠COP=∠BOP=60°，进而得到三角形COP与三角形BOP都为等边三角形，可得出OC=OB=PC=PB，即四边形OBPC为菱形．

解答：解：（1）连接AC，如图所示：
∵AC=2，OA=OB=OC=

1

2

AB=2，
∴AC=OA=OC，
∴△ACO为等边三角形，
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，
∴∠APC=

1

2

∠AOC=30°，
又DC与圆O相切于点C，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO=90°，
∴∠ACD=∠DCO-∠ACO=90°-60°=30°；
（2）当点P移动到弧CB的中点时，四边形OBPC是菱形，
理由如下：
连接PB，OP，
∵AB为直径，∠AOC=60°，
∴∠COB=120°，
当点P移动到CB的中点时，∠COP=∠POB=60°，
∴△COP和△BOP都为等边三角形，
∴OC=CP=OB=PB，
则四边形OBPC为菱形．

点评：此题考查切线的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，以及弧、圆心角及弦之间的关系，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．