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    （2011•自贡）已知抛物线y=ax2+2x+3（a≠0）有如下两个特点：①无论实数a怎样变化，其顶点都在某一条直线l上；②若把顶点的横坐标减少
    1
    a
    ，纵坐标增大
    1
    a
    分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加
    1
    a
    ，纵坐标增加
    1
    a
    分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y=ax2+2x+3（a≠0）上．
    （1）求出当实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3（a≠0）的顶点所在直线l的解析式；
    （2）请找出在直线l上但不是该抛物线顶点的所有点，并说明理由；
    （3）你能根据特点②的启示，对一般二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）提出一个猜想吗？请用数学语言把你的猜想表达出来，并给予证明．
    分析：（1）取a=1和-1，求出两点的坐标，用待定系数法求出直线l的解析式即可；
    （2）求出抛物线y=ax2+2x+3的顶点P坐标为(-
    1
    a
    ，3-
    1
    a
    )    ，根据其取值，即可得出不是该抛物线的顶点的坐标；
    （3）猜想：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），将其顶点的横坐标减少
    1
    a
    ，纵坐标增加
    1
    a
    分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加
    1
    a
    ，纵坐标增加
    1
    a
    分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上；求出其横、纵坐标，把横坐标代入函数式，验证即可；
    解答：解：（1）取a=1，得抛物线y=x2+2x+3，
    其顶点为P1（-1，2）．
    取a=-1，得抛物线y=-x2+2x+3，
    其顶点为P2（1，4）．
    由题意有P1、P2在直线l上，设直线l的解析式为y=kx+b，则
    -k+b=2
    k+b=4

    解得：
    k=1
    b=3

    ∴直线l的解析式为y=x+3．

    （2）∵抛物线y=ax2+2x+3的顶点P坐标为(-
    1
    a
    ，3-
    1
    a
    )    ．
    显然P(-
    1
    a
    ，3-
    1
    a
    )    在直线y=x+3上．
    又-
    1
    a
    能取到除0以外的所有实数，
    ∴在y=x+3上仅有一点（0，3）不是该抛物线的顶点．

    （3）猜想：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），将其顶点的横坐标减少
    1
    a
    ，纵坐标增加
    1
    a
    分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加
    1
    a
    ，纵坐标增加
    1
    a
    分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上．证明如下：
    ∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-
    b
    2a
    ，
    4ac-b2
    4a
    ），
    ∴点A的坐标为(-
    b+2
    2a
    ，
    4ac-b2+4
    4a
    )    ，
    点B的坐标为(
    -b+2
    2a
    ，
    4ac-b2+4
    4a
    )    ．
    ∵x=-
    b+2
    2a
    时，y=ax2+bx+c=a(
    -b+2
    2a
    )2+b(
    -b+2
    2a
    )+c=
    4ac-b2+4
    4a

    ∴点A(-
    b+2
    2a
    ，
    4ac-b2+4
    4a
    )    在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），
    同理有B(
    -b+2
    2a
    ，
    4ac-b2+4
    4a
    )    也在抛物线上，故结论成立．
    点评：本题主要考查了二次函数的解析式及用待定系数法求函数的解析式，熟记二次函数的顶点坐标公式及其性质，是正确解答的关键．
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