Question

【阅读理解】
已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC=AB+BD证明：如图1，在AC上截取AE=AB，连接DE，则由已知条件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）
∴∠AED=∠B=90°，DE=DB
又∵∠C=45°，∴△DEC是等腰直角三角形．
∴DE=EC．
∴AC=AE+EC=AB+BD．
【解决问题】
已知，如图2，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E，若AB=2，则三角形DEC的周长为

 

．
【数学思考】：现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D如图3”，其他条件不变，请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系，并证明你的猜想．
【类比猜想】
任意三角形ABC，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图4，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：解决问题：由角平分线的性质及勾股定理就可以得出AE=AB，进而求出CE，由BD=CE就可以求出结论；
数学思考：在CA的延长线上截取AE=AB，连接DE，由角平分线的性质就可以得出△EAD≌△BAD，得出∠AED=∠ABD=90°，DB=DE，就可以得出DB=AB+AC；
类比猜想：在CA的延长线上取一点E，使AE=AB，连接DE，由角平分线的性质就可以得出△AED≌△ABD，就可以得出DE=DB，∠AED=∠ABD，就可以得出∠DEF=∠ABC，就可以得出∠EDC=∠C，进而得出结论．

解答：解：解决问题∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC，∠B=90°，
∴∠BAD=∠CAD，∠AED=∠B=90°，DB=DE．
在Rt△ABD和RtAED中，

AD=AD DB=DE

，
∴Rt△ABD≌RtAED（HL），
∴AB=AE．
∵AB=CB，
∴AE=CB．
∵△CDE的周长为=CD+CE+DE，
∴△CDE的周长为=CD+DB+CE=BC+CE=AE+CE=AC．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC=2

2

．
故答案为：2

2

；
数学思考：
如图3，在CA的延长线上截取AE=AB，连接DE．
∵AD平分∠EAB，
∴∠EAD=∠BAD，
在△EAD和△BAD中，

EA=BA ∠EAD=∠BAD AD=AD

，
△EAD≌△BAD（SAS）．
∴∠AED=∠ABD，DB=DE，
∵AB=BC，∠ABC=90°
∴∠C=45°，∠ABD=90°，
∴∠AED=90°，
∴∠EDC=45°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC．
∴BD=EC．
∵EC=AE+AC，
∴BD=AE+AC
∴DB=AE+AC=AB+AC；
【类比猜想】BD=AB+AC．
理由：在CA的延长线上取一点E，使AE=AB，连接DE，
∵AD平分∠EAB，
∴∠EAD=∠BAD，
在△EAD和△BAD中，

EA=BA ∠EAD=∠BAD AD=AD

，
△EAD≌△BAD（SAS）．
∴∠AED=∠ABD，DB=DE．
∵∠AED+∠FED=180°，∠ABD+ABC=180°，
∴∠FED=∠ABC．
∵∠ABC=2∠C，
∴∠FED=2∠C．
∵∠FED=∠EDC+∠C，
∴2∠C=∠EDC+∠C，
∴∠C=∠EDC，
∴DE=CE．
∴BD=EC．
∵EC=AE+AC，
∴BD=AE+AC
∴DB=AE+AC=AB+AC．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．