Question

【题目】 小明遇到这样一个问题

如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且BD=BC，求证：∠ABC=2∠ACD．

小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：

方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E．

方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F．

根据阅读材料，从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC=2∠ACD．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

方法1，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠ABC=2∠ACD．

方法2，作BE⊥CD，垂足为点E．利用等腰三角形的性质以及同角的余角相等，即可得出∠ABC=2∠ACD．

方法3，作CF⊥AB，垂足为点F．利用等腰三角形的性质以及三角形外角性质，即可得到∠ACF=2∠ACD，再根据同角的余角相等，即可得到∠B=∠ACF，进而得出∠B=2∠ACD．

方法1：如图，∵∠ACB=90°，

∴∠BCD=90°-∠ACD，

又∵BC=BD，

∴∠BCD=∠BDC，

∴△BCD中，

∠ABC=180°-∠BDC -∠BCD =180°-2∠BCD=180°-2（90°-∠ACD）=2∠ACD；

方法2：如图，作BE⊥CD，垂足为点E．

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠BCE=90°，

∴∠ACD=∠CBE，

又∵BC=BD，BE⊥CD，

∴∠ABC=2∠CBE，

∴∠ABC=2∠ACD；

方法3：如图，作CF⊥AB，垂足为点F．

∵∠ACB=90°，∠BFC=90°，

∴∠A+∠ABC =∠BCF+∠ABC =90°，

∴∠A=∠BCF，

∵BC=BD，

∴∠BCD=∠BDC，即∠BCF+∠DCF=∠A+∠ACD，

∴∠DCF=∠ACD，

∴∠ACF=2∠ACD，

又∵∠ABC +∠BCF=∠ACF+∠BCF=90°，

∴∠ABC =∠ACF，

∴∠ABC =2∠ACD．