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3.如图,在平面直角坐标系中,直线l是第一、三象限的角平分线.
(1)实验与探究
由图观察易知点A(0,2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5),E(-1,-4)关于直线l的对称点B′、C′,E′的位置,并写出它们的坐标:B′(3,5)、C′(5,-2),E′(-4,-1);
(2)归纳与发现:
结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为(b,a)(不必证明);
(3)运用与拓广:
已知两点D(1,-3)、B(5,3),试在直线l上确定一点Q,使点Q到D、B两点的距离之和最小,并求出Q点坐标.

分析 (1)根据对称的性质作出对称点即可,然后写出坐标.
(2)观察(1)中结论得出结论即可.
(3)连接DB′交直线l于Q,此时DQ+BQ最小.求出直线DB′的解析式,解方程组即可求出点Q坐标.

解答 解:(1)点B(5,3)、C(-2,5),E(-1,-4)关于直线l的对称点B′、C′,E′的位置,如图所示,

由图象可知B′(3,5),C′(5,-2),E′(-4,-1).

(2)由(1)可知坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为(b,a).

(3)连接DB′交直线l于Q,此时DQ+BQ最小.
设直线DB′的解析式为y=kx+b,则$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-3}\\{3k+b=5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=-7}\end{array}\right.$,
∴直线DB′的解析式为y=4x-7,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4x-7}\\{y=x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{3}}\\{y=\frac{7}{3}}\end{array}\right.$,
∴点Q坐标($\frac{7}{3}$,$\frac{7}{3}$).

点评 本题考查轴对称-最短问题、坐标与图形的性质等知识,解题的关键是学会正确画出图形,学会利用对称解决最短问题,属于中考常考题型.

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