Question

20．阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a=6，则|a|=|6|=6就是它本身；
当a=0时，|a|=0的绝对值是零；
当a＜0时，如a=-6，则|a|=|-6|=6故此时a的绝对值就是它的相反数．
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即|a|=$\left\{\begin{array}{l}{a，当a＞0}\\{0，当a=0}\\{-a，当a＜0}\end{array}\right.$
分析方法渗透了数学的分类讨论的思想．
（1）请仿照例中分类讨论的方法，分析实数$\sqrt{{a}^{2}}$去根号后的各种情况；
（2）当x＜-3时，$\sqrt{（x+1）^{2}}$=
（3）猜想$\sqrt{{a}^{2}}$与|a|关系．

Answer 1

分析 （1）根据二次根式的性质可得$\sqrt{{a}^{2}}$=|a|，再根据绝对值的性质进行求解即可；
（2）先根据x＜-3，得到x+1＜0，再根据绝对值的性质进行求解即可；
（3）根据算术平方根的非负性可知，$\sqrt{{a}^{2}}$=|a|．

解答 解：（1）∵$\sqrt{{a}^{2}}$=|a|，
∴$\sqrt{{a}^{2}}$=$\left\{\begin{array}{l}{a（a＞0）}\\{0（a=0）}\\{-a（a＜0）}\end{array}\right.$；

（2）∵x＜-3，
∴x+1＜0，
∴当x＜-3时，$\sqrt{（x+1）^{2}}$=|x+1|=-x-1；

（3）由题可得，$\sqrt{{a}^{2}}$=|a|．

点评 本题主要考查了实数的性质以及二次根式的性质，解决问题的关键是掌握算术平方根与绝对值的非负性．