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如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,
(1)求抛物线所对应的函数解析式;
(2)求△ABD的面积;
(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上?请说明理由.

解:(1)∵四边形OCEF为矩形,OF=2,EF=3,
∴点C的坐标为(0,3),点E的坐标为(2,3).
把x=0,y=3;x=2,y=3分别代入y=-x2+bx+c,得
,解得
∴抛物线所对应的函数解析式为y=-x2+2x+3。
(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴抛物线的顶点坐标为D(1,4)。∴△ABD中AB边的高为4。
令y=0,得-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3。
∴AB=3-(-1)=4。
∴△ABD的面积=×4×4=8。
(3)如图,△AOC绕点C逆时针旋转90°,CO落在CE所在的直线上,由(1)(2)可知OA=1,OC=3,

∵点A对应点G的坐标为(3,2)。
∵当x=3时,y=-32+2×3+3=0≠2,
∴点G不在该抛物线上。

解析

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,抛物线y=ax2+bx+c经过原点O,与x轴交于另一点N,直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点,与抛物线交于点B(1,m)、C(2,2).

【小题1】求直线与抛物线的解析式.
【小题2】若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x,y),设∠PON=,求当△PON的面积最大时tan的值.
【小题3】若动点P保持(2)中的运动线路,问是否存在点P,使得△POA的面积等于△PON的面积的?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由

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科目:初中数学 来源:2012年初中毕业升学考试(山东济宁卷)数学(带解析) 题型:解答题

如图,抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A(4,0)、B(-2,0)两点,与y轴交于点C,点P是线段AB上一动点(端点除外),过点P作PD∥AC,交BC于点D,连接CP.女女
【小题1】求该抛物线的解析式;
【小题2】当动点P运动到何处时,BP2=BD•BC;
【小题3】当△PCD的面积最大时,求点P的坐标.

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科目:初中数学 来源:2011-2012学年四川乐山市区中考模拟数学试卷(解析版) 题型:解答题

如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,与y轴交于C点,对称轴与抛物线相交于点P,与直线BC相交于点M,连接PB.已知x1、x2

恰是方程的两根,且sin∠OBC=.

1.求该抛物线的解析式;

2.抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面积相等,若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由

3.在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R,使△RPM与△RMB的面积相等,若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由.

 

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科目:初中数学 来源:2011-2012学年福建省九年级下学期第一次统考数学卷 题型:解答题

 (14分)如图,抛物线:y=ax2+bx+1的顶点坐标为D(1,0),

1.(1)求抛物线的解析式;

2.(2)如图1,将抛物线向右平移1个单位,向下平移1个单位得到抛物线,直线

    经过点D交y轴于点A,交抛物线于点B,抛物线的顶点为P,求△DBP的面积;

3.如图2,连结AP,过点B作BC⊥AP于C,设点Q为抛物线上点至点之间的一动点,

 连结 并延长交于点,试问:当点Q运动到什么位置时,△BCF的面积为

 

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科目:初中数学 来源:2012届浙江省杭州市九年级第一次中考模拟考试数学卷 题型:选择题

(本题满分12分)如图,抛物线ya(x1)(x5)x轴的交点为MN.直线ykxb

x轴交于P(20),与y轴交于C.若AB两点在直线ykxb上,且AO=BO=AOBOD为线段MN的中点,OHRt△OPC斜边上的高.

(1)OH的长度等于___________;k=___________,b=____________;

(2)是否存在实数a,使得抛物线ya(x1)(x5)上有一点E,满足以DNE为顶

点的三角形与△AOB相似?若不存在,说明理由;若存在,求所有符合条件的抛物线的解析式,同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E(简要说明理由);并进一步探索对符合条件的每一个E点,直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG,写出探索过程.

 

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