Question

已知关于x的方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0的两个不等实数根均为正整数，且m为整数，求m的值．

Answer 1

分析：（1）先分两种情况讨论，当m=0时方程的解为1和当m≠0时，△=b²-4ac=m+2）²≥0有实数根，得出无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
（2）根据（1）求出x的根，再根据x为整数，m为整数，求出m的值，从而求出x的值，再根据，x₁≠x₂，且x为正整数，即可求出m的值．

解答：解：（1）①当m=0时，方程为-2x+2=0，x=1，此一元一次方程有实根，
②当m≠0时，方程为一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0，
∵a=m，b=-（3m+2），c=2m+2，
∴△=b²-4ac=[-（3m+2）]²-4m×（2m+2）=m²+4m+4=（m+2）²，
∵（m+2）²≥0，
∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根；

（2）根据（1）可得：
x₁=

3m+2+(m+2)

2m

=

2m+2

m

=2+

2

m

，
x₂=

3m+2-(m+2)

2m

=1，
∵x为整数，m为整数，
∴m=1，-1，2，-2，
∴x₁=4，0，3，1，
∵x₁≠x₂，且x为正整数，
∴m=1或m=2．

点评：此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根是本题的关键．