Question

10．在矩形ABCD中，AB=2，AD=5，P为BC边上的一点，若∠APD=90°，连接BD，则tan∠PDB=$\frac{1}{12}$或$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根据矩形的性质求出∠B=∠C=90°，AB=CD=4，求出∠1=∠3，证△ABP∽△PCD，得出比例式，求出BP，证明三角形相似求出PM，由勾股定理求出PD，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=90°，AB=CD=4，
∵∠APD=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴△ABP∽△PCD，
∴$\frac{AB}{CP}=\frac{BP}{CD}$，即$\frac{2}{5-BP}=\frac{BP}{2}$，
解得：BP=1或4，
当BP=1时，CP=4，AP=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵AD∥BC，
∴△BPM∽△DAM，
∴$\frac{PM}{AM}=\frac{BP}{AD}$=$\frac{1}{5}$，
∴PM=$\frac{1}{6}$AP=$\frac{\sqrt{5}}{6}$，
∵PD=$\sqrt{P{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴tan∠PDB=P=$\frac{PM}{PD}$=$\frac{1}{12}$；
当BP=4时，
同理得：tan∠PDB═$\frac{PM}{PD}$=$\frac{1}{3}$；
故答案为：$\frac{1}{12}$或$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，矩形的性质的应用，能求出BP的长是解此题的关键．