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在平面直角坐标系xOy中,直线分别与x轴,y轴交于过点A,B,点C是第一象限内的一点,且AB=AC,AB⊥AC,抛物线经过A,C两点,与轴的另一交点为D.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)判断直线AB与CD的位置关系,并证明你的结论;
(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.
(1);(2)AB∥CD,证明见解析;(3)存在,(,1),(,1),(,-1),(,-1).

试题分析:(1)求得点C的坐标,应用待定系数法即可求得抛物线的解析式.
(2)根据勾股定理求出AC,CD,AD的长,从而根据勾股定理逆定理得到△ACD为直角三角形,∠ACD=90°,由∠BAC=90°,得出AB∥CD.
(3)由题意可知,要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形,只需要点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等.据此列出方程求解即可.
(1)由题意可求点A(2,0),点B(0,1).
过点C作CE⊥x轴,易证△AOB≌△ECA.
∴ OA=CE=2,OB=AE=1.
∴ 点C的坐标为(3,2).
将点A(2,0),点C(3,2)代入
,,解得
∴二次函数的解析式为

(2)AB∥CD.证明如下:
,解得
∴ D点坐标为(7,0).
可求
∴△ACD为直角三角形,∠ACD=90°.
又∵∠BAC=90°,
∴ AB∥CD.
(3)如图,由题意可知,要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形,只需要点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等.
∵ B点坐标为(0,1),
∴ 点N到x轴的距离等于1.
可得
解这两个方程得
∴点N的坐标分别为(,1),(,1),(,-1),(,-1).
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知二次函数.
(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标,并描述改函数的函数值随自变量的增减而增减的情况;
(2)求函数图象与x轴的交点A,B的坐标,及△ABC的面积.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,直角梯形OABC中,AB∥OC,点A坐标为(0,6),点C坐标为(3,0),BC=,一抛物线过点A、B、 C.
(1)填空:点B的坐标为   
(2)求该抛物线的解析式;
(3)作平行于x轴的直线与x轴上方的抛物线交于点E 、F,以EF为直径的圆恰好与x轴相切,求该圆的半径.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知二次函数的图象经过点(0,- 3),且顶点坐标为(1,- 4).求这个解析式。

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数的图像经过原点及点A(1,2),与x轴相交于另一点B(3,0),将点B向右平移3个单位得点C.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点M在线段OC上,平面内有一点Q,使得四边形ABMQ为菱形,求点M坐标;
(3)点P在线段OC上,从O点出发向C点运动,过P点作x轴的垂线,交直线AO于D点,以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF(当P点运动时,点D、点E、点F也随之运动);
①当点E在二次函数的图像上时,求OP的长;
②若点P从O点出发向C点做匀速运动,速度为每秒1个单位长度,若P点运动t秒时,直线AC与以DE为直径的⊙M相切,直接写出此刻t的值.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知:二次函数中的满足下表:

……

0
1
2
3
……

……
0




……
(1)求的值;
(2)根据上表求时的的取值范围;
(3)若两点都在该函数图象上,且,试比较的大小.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

已知二次函数)的图象如图所示,对称轴是直线,有下列结论:①;②;③;④.其中正确结论的个数是(   ).
A.1B.2C.3D.4

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

对于二次函数y=2(x+1)(x-3),下列说法正确的是( )
A.图象的开口向下
B.当x>1时,y随x的增大而减小
C.当x<1时,y随x的增大而减小
D.图象的对称轴是直线x=-1

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是(  )
A.-1<x<5B.x>5
C.x<-1且x>5D.x<-1或x>5

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