【题目】如图,点O是等腰△ABC的外心,AD是圆O的切线,切点为A,过点C作CD≡∥AB,交AD于点D.连接AO并延长交BC于点M,连接AD,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.
(1)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=12,BC=8.求PC的长.
【答案】(1)直线PC与圆O相切(2)PC=
【解析】
(1)过C点作直径CE,连接EB,由CE为直径得∠E+∠BCE=90°,由AB∥DC得∠ACD=∠BAC,而∠BAC=∠E,∠BCP=∠ACD,所以∠E=∠BCP,于是∠BCP+∠BCE=90°,然后根据切线的判断得到结论;
(2)根据切线的性质得到OA⊥AD,而BC∥AD,则AM⊥BC,根据垂径定理有BM=CM=BC=4,根据等腰三角形性质有AC=AB=12,在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM;
设⊙O的半径为r,则OC=r,OM=AMr在Rt△OCM中,根据勾股定理计算出r,求出CE=2r,OM,利用中位线性质得BE=2OM,然后判断Rt△PCM∽Rt△CEB,根据相似比可计算出PC.
(1)直线PC与圆O相切,理由为:
过C点作直径CE,连接EB,如图,
∵CE为直径,
∴∠EBC=90°,即∠E+∠BCE=90°,
∵AB∥DC,
∴∠ACD=∠BAC,
∵∠BAC=∠E,∠BCP=∠ACD.
∴∠E=∠BCP,
∴∠BCP+∠BCE=90°,即∠PCE=90°,
∴CE⊥PC,
∴PC与圆O相切;
(2)∵AD是⊙O的切线,切点为A,
∴OA⊥AD,
∵BC∥AD,
∴AM⊥BC,
∴BM=CM=BC=4,
∴AC=AB=12,
在Rt△AMC中,AM==8,
设圆O的半径为r,则OC=r,OM=AM﹣r=8﹣r,
在Rt△OCM中,OM2+CM2=OC2,即42+(8﹣r)2=r2,
解得:r=,
∴CE=2r==9,OM=8﹣=,
∴BE=2OM=7,
∵∠E=∠MCP,
∴Rt△PCM∽Rt
∴=,
即=
∴PC=.
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【题目】将一枚硬币连续掷了三次, “三次都是正面朝上” 记为事件M;将三枚硬币掷出, “三枚硬币正面都朝上” 记为事件N,则P(M)与P(N)的大小关系为( )
A. P(M)>P(N) B. P(M)=P(N)
C. P(M)<P(N) D. 无法比较
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【题目】根据函数学习中积累的知识与经验,李老师要求学生探究函数y=+1的图象.同学们通过列表、描点、画图象,发现它的图象特征,请你补充完整.
(1)函数y=+1的图象可以由我们熟悉的函数 的图象向上平移 个单位得到;
(2)函数y=+1的图象与x轴、y轴交点的情况是: ;
(3)请你构造一个函数,使其图象与x轴的交点为(2,0),且与y轴无交点,这个函数表达式可以是 .
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【题目】如图,反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A,B两点,点A的坐标为(2,3),点B的坐标为(n,1).
(1)求n的值,并结合图象,直接写出不等式<kx+b的解集;
(2)点E为x轴上一个动点,若S△AEB=6,求点E的坐标.
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【题目】如图1,在中,于E,,D是AE上的一点,且,连接BD,CD.
试判断BD与AC的位置关系和数量关系,并说明理由;
如图2,若将绕点E旋转一定的角度后,试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化,并说明理由;
如图3,若将中的等腰直角三角形都换成等边三角形,其他条件不变.
试猜想BD与AC的数量关系,请直接写出结论;
你能求出BD与AC的夹角度数吗?如果能,请直接写出夹角度数;如果不能,请说明理由.
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【题目】如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,E点为射线CB上一动点,连接AE,作AF⊥AE且AF=AE.
(1)如图1,过F点作FD⊥AC交AC于D点,求证:EC+CD=DF;
(2)如图2,连接BF交AC于G点,若 =3,求证:E点为BC中点;
(3)当E点在射线CB上,连接BF与直线AC交于G点,若,求:(直接写出结果)
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【题目】为使中华传统文化教育更具有实效性,军宁中学开展以“我最喜爱的传统文化种类”为主题的调查活动,围绕“在诗词、国画、对联、书法、戏曲五种传统文化中,你最喜爱哪一种?(必选且只选一种)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图,请你根据图中提供的信息回答下列问题:
(1)本次调查共抽取了多少名学生?
(2)通过计算补全条形统计图;
(3)若军宁中学共有960名学生,请你估计该中学最喜爱国画的学生有多少名?
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【题目】如图,在△ABC中,已知点O是边AB、AC垂直平分线的交点,点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点,若∠O+∠E=180°,则∠A=_____度.
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