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4.如图,已知正方形纸片ABCD,E为CB延长线上一点,F为边CD上一点,将纸片沿EF翻折,点C恰好落在AD边上的点H,连接BD,CH,CG.CH交BD于点N,EF、CG、BD恰好交于一点M.若DH=2,BG=3,则线段MN的长度为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

分析 作CP⊥HG于P,首先证明DH=HP,GP=BG,推出GH=5,设正方形边长为a,在Rt△AHG中利用勾股定理求出a,再由BG∥CD,得$\frac{BM}{DM}$=$\frac{BG}{CD}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,由DH∥CB,得$\frac{DN}{BN}$=$\frac{DH}{BC}$=$\frac{1}{3}$,分别求出BM、DN即可解决问题.

解答 解:作CP⊥HG于P,

∵四边形ABCD是正方形,
∴CD=BC,AD∥BC,∠CDA=90°,
∴∠DHC=∠HCE,
由翻折性质可知,∠ECH=∠EHC,
∴∠DHC=∠CHE,
∵CD⊥HD,CP⊥HE,
∴CP=CD=BC,
∴△CHD≌△CHP,△CGP≌△CGB,
∴DH=HP=2,PG=GB=3,
∴HG=2+3=5,
设正方形边长为a,在Rt△AHG中,∵HG2=AH2+AG2
∴52=(a-2)2+(a-3)2
∴a=6或-1(舍弃),
∴CD=BC=6,BD=6$\sqrt{2}$,
∵BG∥CD,
∴$\frac{BM}{DM}$=$\frac{BG}{CD}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,
∴BM=2$\sqrt{2}$,
∵DH∥CB,
∴$\frac{DN}{BN}$=$\frac{DH}{BC}$=$\frac{1}{3}$,
∴DN=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$,
∴MN=BD-DN-BM=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
故答案为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

点评 本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.

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(2)利用上述公式计算:
①2-22-23-24-25-26-…-22008+22009=6.
②计算:$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{9}$+$\frac{2}{27}$+…+$\frac{2}{3^n}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$.
③计算:$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{9}$+$\frac{4}{27}$+…+$\frac{{{2^{n-1}}}}{3^n}$=1-$\frac{{2}^{n}}{{3}^{n}}$.

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