Question

（2013•高要市二模）已知：如图，抛物线经过点O、A、B三点，四边形OABC是直角梯形，其中点A在x轴上，点C在y轴上，BC∥OA，A（12，0）、B（4，8）．
（1）求抛物线所对应的函数关系式；
（2）D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，若线段PD将梯形OABC的面积分成1﹕3两部分，求此时P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax（x-12）+（a≠0），把A（12，0）、B（4，8）、C（0，0）三点代入即可求出a的值，进而得出该抛物线的解析式；
（2）过点B作BF⊥x轴于点F，先求出COAB的面积，由于点P的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①当点P在AB上时，设点P的坐标为（x，y），由②当点P在OC上时，设点P的坐标为（0，y）求出满足题意的x和y的值即可得到P的坐标．

解答：（1）解：∵抛物线经过O（0，0）、A（12，0）、B（4，8），
∴设抛物线的解析式为：y=ax（x-12）…（1分）
∴将点B的坐标代入，得：8=4a（4-6），解得：a=-

1

4

，
∴所求抛物线的关系式为：y=-

1

4

x(x-12)=-

1

4

x2+3x；

（2）解：过点B作BF⊥x轴于点F，
∵BF=8，AF=12-4=8
∴∠BAF=45°
∴S_梯形OABC=

1

2

(4+12)×8=64，
∴面积分成1﹕3两部分，即面积分成16：48，
由题意得，动点P整个运动过程分三种情况，当点P在BC上时，
由于∵S_△ABD=

1

2

×6×8=24 ＞ 16
∴点P在BC上不能满足要求．
①点P在AB上，设P（x，y）
由S_△APD=16，得

1

2

×AD×y=

1

2

×6×y=16
∴y=

16

3

…（6分）
过P作PE⊥x轴于点E，由∠BAF=45°
∴AE=PE=

16

3

，
∴x=12-

16

3

=

20

3

，
P(

20

3

，

16

3

)满足要求．   
②点P在OC上，设P（0，y）．
∵S_△APD=

1

2

×AD×y=

1

2

×6×y=16
∴y=

16

3

，
∴P(0，

16

3

)满足要求．

点评：本题考查的是二次函数综合题，此题涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、梯形的面积公式及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出三角形及梯形的高是解答此题的关键．