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19.以满足|x|+|y|=1的所有的对数(x,y)为坐标原点,构成了一个正方形MNPQ(如图所示),这个正方形被直线l:y=ax-a-1分成了两部分.
(1)求证:无论a为何值,直线l恒过点A,求A点的坐标,并用a表示l与MQ的交点C的坐标;
(2)当a在什么范围时,l分别与MN,PN,PQ有交点(只要求结论);
(3)当l与PN交于D点时,设四边形CMND的面积为S,求S关于a的函数关系式.

分析 (1)把函数解析式变形成a(x-1)-1的形式,即可得到不论a取何值,当x=1时,y=-1,则一定过点(1,-1),求得直线MQ的解析式,然后解MQ的解析式和l的解析式组成的方程组即可求得C的坐标;
(2)求出直线l经过M、N、P、Q时对应的a的值,即可判断;
(3)首先求得PN的解析式,与l的解析式组成方程组求得D的坐标,则DN和CM的长即可求得,然后利用直角梯形的面积公式即可求得函数解析式.

解答 解:(1)y=ax-a-1=a(x-1)-1,
不论a取何值,当x=1时,y=-1,则一定过点(1,-1).
则A的坐标是(1,-1).
设MQ的解析式是y=kx+b,则$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{k+b=0}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{k=1}\end{array}\right.$,
则MQ的解析式是y=x-1.
根据题意得:$\left\{\begin{array}{l}{y=ax-a-1}\\{y=x-1}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{a-1}}\\{y=\frac{1}{a-1}}\end{array}\right.$,
则C的坐标是($\frac{a}{a-1}$,$\frac{1}{a-1}$);
(2)当y=ax-a-1经过点M(1,0)时,a-a-1=0,不成立,
当y=ax-a-1经过点N(0,1)时,-a-1=1,解得:a=-2,
当y=ax-a-1经过点(-1,0)时,-a-a-1=0,解得:a=-$\frac{1}{2}$,
当y=ax-a-1经过点(0,-1)时,a-1=-1,解得a=0.
则直线于MN有交点时,-2<a<0,
当直线与PN有交点时,-2≤a<-$\frac{1}{2}$;
当直线与PQ有交点时-$\frac{1}{2}$≤a<0;
(3)设直线PN的解析式是y=mx+n,
根据题意得:$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{n=1}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$,
则直线PN的解析式是y=x+1.
则$\left\{\begin{array}{l}{y=ax-a-1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a+2}{a-1}}\\{y=\frac{2a+1}{a-1}}\end{array}\right.$,
则D的坐标是($\frac{a+2}{a-1}$,$\frac{2a+1}{a-1}$).
则DN=$\sqrt{(\frac{a+2}{a-1})^{2}+(1-\frac{2a+1}{a-1})^{2}}$=$|\frac{a+2}{a-1}|$$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}(a+2)}{1-a}$,
CN=$\sqrt{(1-\frac{a}{a-1})^{2}+(\frac{1}{a-1})^{2}}$=$\sqrt{2}$•|$\frac{1}{1-a}$|=$\frac{\sqrt{2}}{1-a}$,
则S=$\frac{1}{2}$(DN+CN)•MN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×[$\frac{\sqrt{2}(a+2)}{1-a}$+$\frac{\sqrt{2}}{1-a}$]=$\frac{a+2+1}{1-a}$=$\frac{a+3}{1-a}$.

点评 本题是待定系数法求函数解析式与梯形的面积的综合应用,在本题中解关于a的方程组求得C和D的坐标是关键.

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