Question

8．已知如图，抛物线y=x²+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．若A（-1，0），且OC=3OA
（1）求抛物线的解析式
（2）若M点为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC、CM、MB，求四边形MBAC面积的最大值
（3）将直线BC沿x轴翻折交y轴于N点，过B点的直线l交y轴、抛物线分别于D、E，且D在N的上方．将A点绕O顺时针旋转90°得M，若∠NBD=∠MBO，试求E点的坐标

Answer 1

分析 （1）由条件可先求得点C的坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可先求得点B的坐标，利用待定系数法求得直线BC解析式，可设出点M的坐标，表示出△BCM的面积，再根据二次函数的最值可求得△BCM的最大值，则可求得四边形MBAC的面积的最大值；
（3）过点M作MF⊥BM交BE于F，过点F作FH⊥y轴于点H，结合条件可求得点F的坐标，则可求得直线BF的解析式，联立直线BF和抛物线解析式可求得点E的坐标．

解答 解：
（1）∵A（-1，0），
∴OA=1，OC=3OA=3，
∴C（0，-3），
将A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x²+mx+n中，
得$\left\{\begin{array}{l}{1-m+n=0}\\{n=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴y=x²-2x-3；
（2）令y=0，则x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴B（3，0），
∴直线BC的解析式为y=x-3，
当△BCM的面积最大时，四边形MBAC的面积最大，
设M（m，m²-2m-3），
过点M作MN∥y轴交BC于N，如图1，

∴N（m，m-3），
∴MN=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
当m=$\frac{3}{2}$时，MN有最大值$\frac{9}{4}$，
∴S_△BCM的最大值为$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×3=$\frac{27}{8}$，
∴S_{四边形MBAC}=S_△ABC+S_△BCM=6+$\frac{27}{8}$=$\frac{75}{8}$；
（3）∵OB=OC=ON，
∴BON为等腰直角三角形，
∵∠OBM+∠NBM=45°，
∴∠NBD+∠NBM=∠DBM=45，
过点M作MF⊥BM交BE于F，过点F作FH⊥y轴于点H，如图2，

由三垂直得，F（1，4），
∴直线BF的解析式为y=-2x+6，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+6}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=12}\end{array}\right.$，
∴E（-3，12）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、一元二次方程、二次函数的最值、旋转的性质及等腰直角三角形的判定和性质等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用点M的坐标表示出△BCM是解题的关键，在（3）中求得点F的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．