Question

【题目】已知：如图，等边△ABC的边长为8，D为AC上的一个动点，延长AB到点E，使BE=CD，连接DE交BC于点P

（1）求证：DP=EP；

（2）若D为AC的中点，求BP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BP=2

【解析】

（1）过点D作DF∥AB，交BC于点F，根据平行线的性质及等边三角形的性质证明BE=CD=DF，根据平行线的性质证得∠PEB=∠PDF，

（2）根据点D是AC的中点得到CD，即可求出BF，利用△BPE≌△FPD得到BP=FP，即可求出答案.

(1)证明：过点D作DF∥AB，交BC于点F，

∵DF∥AB

∴∠CFD=∠ABC，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠CFD=∠ABC=∠C=60°，

∴△CDF是等边三角形，

∴DF=CD，

∵BE=CD，

∴BE=FD，

∵DF∥AB，

∴∠PEB=∠PDF，

在△BPE和△FPD中

，

∴△BPE≌△FPD，

∴DP=EP；

(2）∵等边△ABC的边长为8，

∴AC=BC=8，

∵点D是AC的中点，

∴CF=CD=4，

∴BF=4，

∵△BPE≌△FPD，

∴BP=FP,

∴BP=2.