Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x²+4x+5的图象交x轴于点A、B（点A在点B的右边），交y轴于点C，顶点为P．点M是射线OA上的一个动点（不与点O重合），点N是x轴负半轴上的一点，NH⊥CM，交CM（或CM的延长线）于点H，交y轴于点D，且ND=CM．
（1）求证：OD=OM；
（2）设OM=t，当t为何值时以C、M、P为顶点的三角形是直角三角形？
（3）问：当点M在射线OA上运动时，是否存在实数t，使直线NH与以AB为直径的圆相切？若存在，请求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵NH⊥CM，∴∠OND+∠OMC=90°，
∵∠OCM+∠OMC=90°，∴∠OND=∠OCM，
∵ND=CM，∴△DON≌△MOC，
∴OD=OM；

（2）二次函数y=-x²+4x+5的顶点P（2，9），点C的坐标为（0，5），
∴直线PC的解析式为y=2x+5，
∵PC⊥CM，∴直线MC的解析式为y=-x+5，
∴点M的坐标为（10，0），
∴t=10；
∴当t为10时，以C、M、P为顶点的三角形是直角三角形；
设M（b，0）
CM²=25+b²
PM²=81+（b-2）²
81+（b-2）²+20=25+b²
b=20
M（20，0）
当t=20时以C、M、P为顶点的三角形是直角三角形．

（3）假设存在实数t，使直线NH与以AB为直径的圆相切，设圆心为E，与直线NH的切点为F，
由（1）可得△EFN∽△COM，
∴=，
∴=，
解得t=，
∴存在实数t=，使直线NH与以AB为直径的圆相切．
分析：（1）根据题意可证明∠OND=∠OCM，则△DON≌△MOC，则OD=OM；
（2）根据抛物线的解析式求得点C、P的坐标，从而得出直线PC的解析式，根据两直线垂直，比例系数k互为负倒数，从而得出t的值；
（3）假设存在实数t，以AB为直径的圆的半径为3，假设圆心为E，与直线NH的切点为F，可得△EFN∽△COM，根据相似三角形的性质求得t．
点评：本题是一道二次函数的综合题，考查了用待定系数法求二次函数的关系式，一次函数的关系式，是中考压轴题，难度较大．