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如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+4x+5的图象交x轴于点A、B(点A在点B的右边),交y轴于点C,顶点为P.点M是射线OA上的一个动点(不与点O重合),点N是x轴负半轴上的一点,NH⊥CM,交CM(或CM的延长线)于点H,交y轴于点D,且ND=CM.
(1)求证:OD=OM;
(2)设OM=t,当t为何值时以C、M、P为顶点的三角形是直角三角形?
(3)问:当点M在射线OA上运动时,是否存在实数t,使直线NH与以AB为直径的圆相切?若存在,请求出相应的t值;若不存在,请说明理由.

解:(1)∵NH⊥CM,∴∠OND+∠OMC=90°,
∵∠OCM+∠OMC=90°,∴∠OND=∠OCM,
∵ND=CM,∴△DON≌△MOC,
∴OD=OM;

(2)二次函数y=-x2+4x+5的顶点P(2,9),点C的坐标为(0,5),
∴直线PC的解析式为y=2x+5,
∵PC⊥CM,∴直线MC的解析式为y=-x+5,
∴点M的坐标为(10,0),
∴t=10;
∴当t为10时,以C、M、P为顶点的三角形是直角三角形;
设M(b,0)
CM2=25+b2
PM2=81+(b-2)2
81+(b-2)2+20=25+b2
b=20
M(20,0)
当t=20时以C、M、P为顶点的三角形是直角三角形.

(3)假设存在实数t,使直线NH与以AB为直径的圆相切,设圆心为E,与直线NH的切点为F,
由(1)可得△EFN∽△COM,
=
=
解得t=
∴存在实数t=,使直线NH与以AB为直径的圆相切.
分析:(1)根据题意可证明∠OND=∠OCM,则△DON≌△MOC,则OD=OM;
(2)根据抛物线的解析式求得点C、P的坐标,从而得出直线PC的解析式,根据两直线垂直,比例系数k互为负倒数,从而得出t的值;
(3)假设存在实数t,以AB为直径的圆的半径为3,假设圆心为E,与直线NH的切点为F,可得△EFN∽△COM,根据相似三角形的性质求得t.
点评:本题是一道二次函数的综合题,考查了用待定系数法求二次函数的关系式,一次函数的关系式,是中考压轴题,难度较大.
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BD
AB
=
5
8
,求这时点P的坐标.

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5
29
5
29

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5
5

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k
x
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k
x
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