Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1， ），B（2，0）在抛物线11：y=ax2+bx+1（a，b为常数，且a≠0）上，直线12经过抛物线11的顶点且与y轴垂直，垂足为点D．

（1）求l1的解析式，并写出它的对称轴和顶点坐标；
（2）设l1上有一动点P从点A出发，沿抛物线从左向右运动，点P的纵坐标yp也随之以每秒2个单位长的速度变化，设点P运动的时间为t（秒），连接OP，以线段OP为直径作⊙F．
①求yp关于t的表达式，并写出t的取值范围；
②当点P在起点A处时，直线l2与⊙F的位置关系是 ， 在点P从点A运动到点D的过程中，直线12与⊙F是否始终保持着上述的位置关系？请说明理由；
（3）在（2）条件下，当点P开始从点A出发，沿抛物线从左到右运动时，直线l2同时向下平移，垂足D的纵坐标yD以每秒3个单位长度速度变化，当直线l2与⊙F相交时，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点A（﹣1， ），B（2，0）代入抛物线11：y=ax2+bx+1中得：

解得 ，

∴y=﹣ x2+1 则对称轴为：直线x=0，顶点为（0，1）

（2）相切
（3）

解：设点P坐标（m，﹣ m2+1），则点F坐标（ m，﹣ m2+ ），

∵OP= = m2+1，

∴⊙F的半径= m2+ ，

∴直线y=﹣ m2+ ﹣（ m2+ ）=﹣ m2与⊙F相切，

∵t＞ 时，﹣ m2+1=1﹣2（t﹣ ），

∴﹣ m2=﹣2t+ ，

当1﹣3t=﹣2t+ 时直线l2与⊙F相切，解得t= ，

∴当0＜t＜ 时，⊙F与直线l2相交

【解析】解：（2）①由题意1﹣ =2t解得t= ，
∴0≤t 时，yP= +2t，
t＞ 时，yP=1﹣2（t﹣ ）= ﹣2t．
②当点P在起点A处时，OA= = ，
∴⊙F的半径为 ，
∵点F坐标（﹣ ， ），
∴点F到直线y=1的距离为 ，
∴点F到直线y=1的距离等于⊙F的半径，
∴直线l2与⊙F相切，
所以答案是相切．
结论：在点P从点A运动到点D的过程中，直线12与⊙F始终保持相切．
理由：设点P坐标（m，﹣ m2+1），则点F坐标（ m，﹣ m2+ ），
∵OP= = m2+1，
∴⊙F的半径= m2+ ，
∵点F到直线y=1的距离为1﹣（﹣ m2+ ）= m2+ ，
∴点F到直线y=1的距离等于⊙F的半径，
∴在点P从点A运动到点D的过程中，直线12与⊙F始终保持相切．