【题目】如图,正方形ABCD内接于⊙O,点E为DC的中点,BE的延长线交⊙O于点F,若⊙O的半径为,则BF的长为________.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,AC2=ABAD,∠ADC=90°,点E为AB的中点.
(1)求证:△ADC∽△ACB.
(2)若AD=2,AB=3,求的值.
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【题目】问题发现
(1)如图1,和均为等边三角形,点D在边BC上,连接CE.求证:.
拓展探究
(2)如图2,和均为等腰直角三角形,,点D在边BC上,连接CE
ⅰ)求的度数;
ⅱ)请判断线段AC、CD、CE之间的数量关系,并说明理由.
解决问题
(3)如图3,在四边形ABCD中,,,,AC与BD交于点E,求出线段AC的长度.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、C两点,点A在点C的右边,与y轴交于点B,点B的坐标为(0,﹣3),且OB=OC,点D为该二次函数图象的顶点.
(1)求这个二次函数的解析式及顶点D的坐标;
(2)如图,若点P为该二次函数的对称轴上的一点,连接PC、PO,使得∠CPO=90°,请求出所有符合题意的点P的坐标;
(3)在对称轴上是否存在一点P,使得∠OPC为钝角,若存在,请直接写出点P的纵坐标为yp的取值范围,若没有,请说明理由.
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【题目】如图,水平放在平面直角坐标系中,点的坐标分别为,点在函数的图象上.
求函数的表达式;
求点的坐标;
将沿轴正方向平移个单位后,判断点能否落在函数的图象上,请说明理由.
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【题目】请阅读下列材料,并完成相应的任务.
人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前,由我国的墨子给出圆的概念:“一中同长也.”.意思说,圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年.与圆有关的定理有很多,弦切角定理就是其中之一.
我们把顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.
弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数.
下面是弦切角定理的部分证明过程:
证明:如图①,AB与⊙O相切于点A.当圆心O在弦AC上时,容易得到∠CAB=90°,所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数.
如图②,AB与⊙O相切于点A,当圆心O在∠BAC的内部时,过点A作直径AD交⊙O于点D,在上任取一点E,连接EC,ED,EA,则∠CED=∠CAD.
…
任务:
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)如图③,AB与⊙O相切于点A.当圆心O在∠BAC的外部时,请写出弦切角定理的证明过程.
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【题目】如图,对称轴为直线x=﹣2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣5,0),B(1,0)两点,与y轴相交于点C.
(1)求抛物线的解析式,并求出顶点坐标.
(2)若点P在抛物线上,且S△POC=4S△BOC,求出点P的坐标.
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【题目】已知:如图,在△ABC中,点D在边BC上,AE∥BC,BE与AD、AC分别相交于点F、G, .
(1)求证:△CAD∽△CBG;
(2)联结DG,求证:.
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【题目】某校王老师组织九(1)班同学开展数学活动,某天带领同学们测量学校附近一电线杆的高.已知电线杆直立于地面上,在太阳光的照射下,电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上,在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°,在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°,斜坡与地面成60°角,CD=4m,请你根据这些数据求电线杆的高AB.(结果用根号表示)
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