Question

如图，△ABC的面积为1，点D、G、E 和F分别在边AB、AC、BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB．则梯形DEFG面积的最大可能值为

 

．

Answer 1

分析：首先设

AD

AB

=x，可得

BD

AB

=1-x，由DG∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得

CG

AC

=

BD

AB

=1-x，然后由DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB，证得△ADG∽△ABC，△BDE∽△BAC，△CFG∽△CBA，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ADG，△BDE，△CGF的面积，则可求得S_梯形DEFG=1-x²-2（1-x）²，根据二次函数的性质，即可求得梯形DEFG面积的最大可能值．

解答：解：设

AD

AB

=x，则

BD

AB

=1-x，
∵DG∥BC，
∴

CG

AC

=

BD

AB

=1-x，
∵DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB，
∴△ADG∽△ABC，△BDE∽△BAC，△CFG∽△CBA，
∴

S△ADG

S△ABC

=(

AD

AB

)2=x²，

S△BDE

S△ABC

=(

BD

AB

)2=（1-x）²，

S△CFG

S△ABC

=(

CG

AC

)2=（1-x）²，
∴S_梯形DEFG=1-x²-2（1-x）²=-3x²+4x-1=-3（x-

2

3

）²+

1

3

，
∴当x=

2

3

时，即

AD

AB

=

2

3

，此时BD＜DA，梯形DEFG面积的最大值为

1

3

．
故答案为：

1

3

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质以及平行线分线段成比例定理．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是利用相似三角形的性质求得二次函数，注意数形结合思想的应用．