Question

在△ABC中，∠A=90°，BC=10，tan∠ABC=3：4，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N，以AM、AN为邻边作矩形AMPN，其对角线交点为G．直线MP、NP分别与边BC相交于点E、F，设AP=x．
（1）求AB、AC的长；
（2）如图2，当点P落在BC上时，求x的值；
（3）当EF=5时，求x的值；
（4）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合部分的面积为y．试求y关于x的函数表达式，并求出y的最大值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）在△ABC中，先由tan∠ABC=

AC

AB

=3：4，可设AC=3k，则AB=4k，再根据勾股定理列出方程（3k）²+（4k）²=10²，解方程求出k=2，进而得到AB、AC的长；
（2）如图2，先由矩形的性质得出MN=AP=x，PN∥AM，再由MN∥BC，根据平行四边形的定义证明四边形BPNM是平行四边形，于是BP=MN=x，同理，得到CP=MN=x，然后根据BP+CP=BC列出方程x+x=10，解方程即可求出x的值；
（3）分两种情况进行讨论：①如图1，先证明四边形BFNM是平行四边形，得出BF=MN=x，同理，得到CE=MN=x，再根据BF+EF+CE=BC列出方程x+5+x=10，解方程求出x=2.5；②如图3，先证明四边形BFNM是平行四边形，得出BF=MN=x，BE=BF-EF=x-5，同理，CE=MN=x，再根据BE+CE=BC列出方程x-5+x=10，解方程求出x=7.5；
（4）在动点M的运动过程中，分两种情况进行讨论：①当0＜x≤5时，如图1，先解Rt△AMN，得出AM=MN•cos∠AMN=

4

5

x，AN=MN•sin∠AMN=

3

5

x，再根据y=S_△MNP=

1

2

S_矩形AMPN，利用矩形的面积公式求出y关于x的函数表达式为y=

6

25

x²，然后根据二次函数的性质求出此时y的最大值；②当5＜x＜10时，如图3，先解Rt△PEF，得出PE=PM-ME=

6

5

（x-5），PF=PN-NF=

8

5

（x-5），由三角形的面积公式得出S_△PEF=

1

2

PE•PF=

24

25

（x-5）²，再根据y=S_△MNP-S_△PEF得到y关于x的函数表达式为y=-

18

25

（x-

20

3

）²+8，然后根据二次函数的性质求出此时y的最大值．

解答：解：（1）在△ABC中，∵∠A=90°，
∴tan∠ABC=

AC

AB

=3：4，AC²+AB²=BC²，
∴可设AC=3k，则AB=4k，
∵BC=10，
∴（3k）²+（4k）²=10²，
解得k=2，
∴AB=8，AC=6；

（2）∵四边形AMPN为矩形，
∴MN=AP=x，PN∥AM，
∵MN∥BC，
∴四边形BPNM是平行四边形，
∴BP=MN=x．
同理，CP=MN=x，
∵BP+CP=BC，
∴x+x=10，
解得x=5；

（3）分两种情况：
①如图1，∵四边形AMPN为矩形，
∴MN=AP=x，PN∥AM，
∵MN∥BC，
∴四边形BFNM是平行四边形，
∴BF=MN=x．
同理，CE=MN=x，
∵BF+EF+CE=BC，
∴x+5+x=10，
解得x=2.5；
②如图3，∵四边形AMPN为矩形，
∴MN=AP=x，PN∥AM，
∵MN∥BC，
∴四边形BFNM是平行四边形，
∴BF=MN=x，BE=BF-EF=x-5．
同理，CE=MN=x，
∵BE+CE=BC，
∴x-5+x=10，
解得x=7.5；
综上所述，所求x=2.5或7.5；

（4）在动点M的运动过程中，分两种情况：
①当0＜x≤5时，如图1，
在Rt△AMN中，∵∠MAN=90°，MN=AP=x，
∴AM=MN•cos∠AMN=MN•cos∠B=x•

8

10

=

4

5

x，
AN=MN•sin∠AMN=MN•sin∠B=x•

6

10

=

3

5

x，
∴y=S_△MNP=

1

2

S_矩形AMPN=

1

2

AM•AN=

1

2

•

4

5

x•

3

5

x=

6

25

x²，
当x=5时，y取最大值，此时y_最大=

6

25

×5²=6；
②当5＜x＜10时，如图3，
y=S_△MNP-S_△PEF=

6

25

x²-S_△PEF，
∵PE=PM-ME=AN-BM•tan∠B=

3

5

x-（8-

4

5

x）×

3

4

=

6

5

（x-5），
PF=PN-NF=AM-CN•tan∠C=

4

5

x-（6-

3

5

x）×

4

3

=

8

5

（x-5），
∴S_△PEF=

1

2

PE•PF=

1

2

×

6

5

（x-5）×

8

5

（x-5）=

24

25

（x-5）²，
∴y=

6

25

x²-

24

25

（x-5）²=-

18

25

x²+

48

5

x-24=-

18

25

（x-

20

3

）²+8，
当x=

20

3

时，y取最大值，此时y_最大=8；
综上所述，y关于x的函数表达式为y=

6 25 x2(0＜x≤5) - 18 25 x2+ 48 5 x-24(5＜x＜10)

，且当x=

20

3

时，y的最大值为8．

点评：本题是四边形的综合题，涉及到锐角三角函数的定义，勾股定理，解直角三角形，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，图形的面积，二次函数的性质，综合性较强，难度适中．运用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键．