【题目】如图1,在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O′C′,与OA相交于G,如图2,求经过G,O,B三点的抛物线的解析式;
(3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在△POB的面积S=8的情况?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2;(2)y=﹣x2+x;(3)点P的坐标为(4﹣,2)或(4+,2)或(4﹣,﹣2)或(4+,﹣2)时,△POB的面积S=8.
【解析】
(1)判断出△ABO是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB=45°,然后求出AO⊥CO,再根据平移的性质可得AO⊥C′O′,从而判断出△OO′G是等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解;
(2)求出OO′,再根据等腰直角三角形的性质求出点G的坐标,然后设抛物线解析式为y=ax2+bx,再把点B、G的坐标代入,利用待定系数法求二次函数解析式解答;
(3)设点P到x轴的距离为h,利用三角形的面积公式求出h,再分点P在x轴上方和下方两种情况,利用抛物线解析式求解即可.
(1)∵AB=OB,∠ABO=90°,
∴△ABO是等腰直角三角形,
∴∠AOB=45°,
∵∠yOC=45°,
∴∠AOC=(90°﹣45°)+45°=90°,
∴AO⊥CO,
∵C′O′是CO平移得到,
∴AO⊥C′O′,
∴△OO′G是等腰直角三角形,
∵射线OC的速度是每秒2个单位长度,
∴OO′=2x,
∴其以OO′为底边的高为x,
∴y=×(2x)x=x2;
(2)当x=3秒时,OO′=2×3=6,
∵×6=3,
∴点G的坐标为(3,3),
设抛物线解析式为y=ax2+bx,
则,
解得,
∴抛物线的解析式为y=;
(3)设点P到x轴的距离为h,
则S△POB=×8h=8,
解得h=2,
当点P在x轴上方时,=2,
整理得,x2
解得x1=4﹣,x2=4+,
此时,点P的坐标为(4﹣,2)或(4+,2);
当点P在x轴下方时,=﹣2,
整理得,x2﹣8x﹣10=0,
解得x1=4﹣,x2=4+,
此时,点P的坐标为(4﹣,﹣2)或(4+,﹣2),
综上所述,点P的坐标为(4﹣,2)或(4+,2)或(4﹣,﹣2)或(4+,﹣2)时,△POB的面积S=8.
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【题目】如图,一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,已知球出手时离地面m,与篮圈中心的水平距离为7 m,当球水平运行4 m时达到离地面的最大高度4 m.设篮球运行的轨迹为抛物线的一部分,篮圈距地面3 m,在篮球比赛中,当进攻方球员要投篮时,防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方,这就是平常说的盖帽.(注:盖帽应在球达到最高点前进行,否则就是“干扰球”,属犯规.)
(1)问:此球能否投中?
(2)此时,防守方球员乙前来盖帽,已知乙的最大摸球高度为3.19 m,则他如何做才能成功?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)用尺规在边BC上求作一点P,使PA=PB(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接AP,若AP平分∠CAB,求∠B的度数.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点D在边AB上,DE∥BC,与边AC交于点E,将△ADE沿着DE所在的直线对折,得到△FDE,连结BF.记△ADE,△BDF的面积分别为S1,S2,若BD>2AD,则下列说法错误的是( )
A. 2S2>3S1B. 2S2>5S1C. 3S2>7S1D. 3S2>8S1
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【题目】如图,以正五边形的顶点为圆心,为半径作圆弧交的延长线于点,再以点为圆心,为半径作圆弧交的延长线于,依次进行……得到螺旋线,再顺次连结,,,,,得到5块阴影区域,若记它们的面积分别为,,,,,且满足,则的值为( )
A. B. C. D.
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【题目】某中学对本校初中学生完成家庭作业的时间做了总量控制,规定学生每天完成家庭作业的时间少于1.5小时.该校数学课外兴趣小组对本校初中学生回家完成作业的时间作了一次随机抽样调查,并绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分.
时间(时) | 频数 | 频率 |
0≤t<0.5 | 4 | 0.1 |
0.5≤t<1 | a | 0.3 |
1≤t<1.5 | 10 | 0.25 |
1.5≤t<2 | 8 | b |
2≤t<2.5 | 6 | 0.15 |
合计 | 1 |
(1)在频数分布表中,a=________,b=________;
(2)补全频数分布直方图;
(3)请估计该校1400名初中学生中,有多少名学生在1.5小时以内(不包括1.5小时)完成了家庭作业?
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【题目】如图,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点,与x轴的另一个交点为 C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)根据图象,直接写出满足x+2≥﹣x2+bx+c的x的取值范围;
(3)设点D为该抛物线上的一点、连结AD,若∠DAC=∠CBO,求点D的坐标.
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【题目】已知:如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=x+b的图象交
于点A(1,4)、点B(-4,n).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△OAB的面积;
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.
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