Question

13．已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，且∠EDF=∠C．
（1）若BE•CF=48，则AB=8；
（2）在（1）的条件下，若EF=m，则S_△DEF=$\sqrt{3}$m．

Answer 1

分析 （1）连接AD，根据已知条件得到∠B=∠C=30°，BD=CD，AD⊥BC，由于∠CDE=∠ECF+∠CDF=∠B+∠BFD，于是得到∠BED=∠CDF，推出△BED∽△CDF，得到比例式，推出BD•DC=BD²=BE•CF=48，于是得到结论；
（2）由（1）知，$\frac{BE}{DC}=\frac{DE}{DF}$，即$\frac{BE}{BD}=\frac{DE}{DF}$，通过△BED∽△DEF，得到∠BED=∠DEF，过D作DG⊥AB于G，DH⊥EF于H，求得DG=DH=BDsin30°=4$\sqrt{3}×$$\frac{1}{2}$=2$\sqrt{3}$，即可得到结论．

解答 解：（1）连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，BD=CD，AD⊥BC，
∵∠CDE=∠ECF+∠CDF=∠B+∠BFD，
∴∠BED=∠CDF，∴△BED∽△CDF，
∴$\frac{BE}{DC}=\frac{BD}{CF}=\frac{DE}{DF}$，
∴BD•DC=BD²=BE•CF=48，
∴BD=$\sqrt{48}$=4$\sqrt{3}$，
∴AB=$\frac{BD}{cos30°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=8；
故答案为：8；

（2）由（1）知，$\frac{BE}{DC}=\frac{DE}{DF}$，即$\frac{BE}{BD}=\frac{DE}{DF}$，
∵∠EDF=∠C=∠B，
∴△BED∽△DEF，
∴∠BED=∠DEF，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥EF于H，
∴DG=DH=BDsin30°=4$\sqrt{3}×$$\frac{1}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}×$DH•EF=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}•$m=$\sqrt{3}$m．
故答案为：$\sqrt{3}$m．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角函数，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．