Question

【题目】如图．平分，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分．

求证：（1）点为的中点；

（2）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【解析】

（1）过点D作DH⊥AB于H，由角平分线的性质可得DE=DH，DF=DH，可得结论；

（2）由“AAS"可证△DCE≌△DBF，可证CD=BD，由等腰三角形的性质可证AD⊥BC；

（1）如图，过点D作DH⊥AB于H，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB，

∴DE=DH，

∵BF∥AC，DE⊥AC，

∴BF⊥DF，

∵BC平分∠ABF，DH⊥AB，DF⊥BF，

∴DF=DH，

∴DE=DF，

∴点D为EF的中点；

（2）∵BF∥AC，

∴∠C=∠DBF，

∵∠C=∠DBF，∠CDE=∠BDF，DE=DF，

∴△DCE≌△DBF，

∴CD=BD，

∵BC平分∠ABF，

∴∠ABD=∠DBF，

∴∠C=∠ABD，

∴AC=AB，且CD=BD，

∴AD⊥BC；