Question

如图，在△ABC 中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E、交AC于F．
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=60°，求（∠BOE+∠COF）的度数；
（2）△AEF的周长为8cm，且BC=4cm，求△ABC的周长．

Answer 1

解：（1）∵EF∥BC，
∴∠OCB=∠COF，∠OBC=∠BOE，
又BO、CO分别是∠BAC和∠ACB的角平分线，
∴∠COF=∠FCO=∠ACB=30°，∠BOE=∠OBE=∠ABC=20°，
∴∠BOE+∠COF=50°；

（2）∵∠COF=∠FCO，
∴OF=CF，
∵∠BOE=∠OBE，
∴OE=BE，
∴△AEF的周长=AF+OF+OE+AE=AF+CF+BE+AE=AB+AC=8cm，
∴△ABC的周长=8+4=12（cm）．
分析：（1）两直线平行，内错角相等，以及根据角平分线性质，可得到∠COF=∠FCO=∠ACB=30°，∠BOE=∠OBE=∠ABC=20°，可得到∠BOE+∠COF）的度数；
（2）根据∠COF=∠FCO，∠BOE=∠OBE可得△FOC、△EOB均为等腰三角形，由此把△AEF的周长转化为AC+AB，进而可得到△ABC的周长．
点评：此题主要考查了平行线的性质和等腰三角形的判定及性质；对相等的线段进行有效等量代换是解答本题的关键．