Question

在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为（-3，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）设抛物线的对称轴为直线l，P是直线l上的一点，且△PAB的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴，垂足为D，易证△ACO≌△ODB，就可以求出OD，BD的长，可以得到B点的坐标．
（2）已知A，O，B三点的坐标，利用待定系数法，就可以求出抛物线的解析式．
（3）△PAB的面积等于△AOB的面积，则P点到AB的距离等于O到AB的距离，即△AOB AB边上的高线长．则过点O作AB的平行线，与抛物线的对称轴的交点，以及这点关于F的对称点就是所求的点．

解答：解：（1）作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴，垂足为D．
则∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90度．
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD．（1分）
又∵AO=BO，
∴△ACO≌△ODB．（2分）
∴OD=AC=1，DB=OC=3．
∴点B的坐标为（1，3）．（4分）

（2）因抛物线过原点，
故设所求抛物线的解析式为：y=ax²+bx．
将A（-3，1），B（1，3）两点代入得，

a+b=3 9a-3b=1

，
解得a=

5

6

；b=

13

6

．（6分）
故所求抛物线的解析式为：y=

5

6

x2+

13

6

x．（8分）

（3）设直线AB的方程为y=kx+b₁，那么有：

-3k+b1=1 k+b1=3

，
解得k=

1

2

，b1=

5

2

．
故直线AB的方程为：y=

1

2

x+

5

2

．
∴OE=

5

2

．（9分）
抛物线y=

5

6

x2+

13

6

x的对称轴l的方程是：x=-

b

2a

=-

13

10

，

y= 1 2 x+ 5 2 x=- 13 10

，
解得

x=- 13 10 y= 37 20

．
∴F点坐标为(-

13

10

，

37

20

)．（10分）
∵l∥y轴，△PAB的面积等于△ABO的面积，
∴P点到直线AB的距离等于O点到AB的距离．
即OG=P₁H=P₂M（P点有两种情况）．
则过原点O与AB平行的直线的解析式是y=

1

2

x．
函数y=

1

2

x与抛物线的交点坐标是即P1(-

13

10

，-

13

20

)，
而P₁关于F点的对称点P2(-

13

10

，

87

20

)．也是满足条件的点．

点评：本题利用了全等三角形的性质，以及待定系数法求函数的解析式．