Question

【题目】如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接、交于点E，连接交于点F．下列4个判断：①平分；②；③；④若点G是线段的中点，则为等腰直角三角形．正确判断的个数是（ ）

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

①，先说明△OBD是等腰三角形，再由矩形的性质可得DE=BE，最后根据等腰三角形的性质即可判断；②证明△OFA≌△OBD即可判断；③过F作FH⊥AD，垂足为H,然后根据角平分线定理可得FH=FA,再求得∠HDF=45°，最后用三角函数即可判定；④连接AG,然后证明△OGA≌△ADE,最后根据全等三角形的性质和角的和差即可判断．

解：①∵

∴△OBD是等腰三角形

∵四边形是矩形

∴DE=BE=BD，DA⊥OB

∴平分，OE⊥BD故①正确；

②∵OE⊥BD, DA⊥OB，即∠DAO=∠DAB

∴∠EDF+∠DFE=90°，∠AOF+∠AFO=90°

∵∠EDF=∠AOF

∵DA⊥OB，

∴OA=AD

在△OFA和△OBD中

∠EDF=∠AOF ,OA=AD,∠DAO=∠DAB

∴△OFA≌△DAB

∴OF=BD,即②正确；

③过F作FH⊥OD，垂足为H,

∵平分，DA⊥OB

∴FH=AF

∵，DA⊥OB

∴∠HDF=45°

∴sin∠HDF=,即；故③正确；

④由②得∠EDF=∠AOF，

∵G为OF中点

∴OG=OF

∵DE=BE=BD，OF=BD

∴OG=DE

在△OGA和△AED中

OG=DE, ∠EDF=∠AOF，AD=OA

∴△OGA≌△AED

∴OG=EF,∠GAO=∠DAE

∴△GAE是等腰三角形

∵DA⊥OB

∴∠OAG+∠DAG=90°

∴∠DAE+∠DAG =90°,即∠GAE=90°

∴△GAE是等腰直角三角形，故④正确．

故答案为A．