Question

6．如图，点O在∠APB的平分线PN上，以点O为圆心的⊙O分别交直线PN于点M、N，那么$\widehat{AM}$与$\widehat{BM}$相等吗？并说明理由．

Answer 1

分析 依题意得到：MN是直径，则$\widehat{AM}$+$\widehat{AN}$=$\widehat{BM}$+$\widehat{BN}$，欲证明$\widehat{AM}$=$\widehat{BM}$，只需推知$\widehat{AN}$=$\widehat{BN}$．

解答 解：$\widehat{AM}$与$\widehat{BM}$相等，理由如下：
由题意知，MN是直径．
则$\widehat{AM}$+$\widehat{AN}$=$\widehat{BM}$+$\widehat{BN}$，
∴点O在∠APB的平分线PN上，AP=BP，
∴∠AON=∠BON，
∴$\widehat{AN}$=$\widehat{BN}$，
∴$\widehat{AM}$=$\widehat{BM}$．

点评 本题考查了圆周角、弧、弦的关系．正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．