Question

11、如图，在以AB为直径的半圆中，E是弦AC的中点，延长BE交半圆于点D，若OB=2，OE=1，则∠CDE的度数是 

30°

．

Answer 1

分析：连接BC．构建∠CAB与∠CDE是同弧$widehat{BC}$所对的圆周角．根据三角形的中位线定理，求得△AEO是直角三角形，然后在直角三角形AEO中由30°角所对的直角边是斜边的一半，求得∠CAB=30°；最后根据圆周角定理求得∠CDE=30°（同弧所对的的圆周角相等）．

解答：解：连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°；
∵E是弦AC的中点，O是直径AB的中点，
∴OE∥BC，
∴OE⊥BC；
∵OB=2，OE=1，
∴AO=2，
∴AO=2OE，
∴∠CAB=30°（30°角所对的直角边是斜边的一半）；
∴∠CDE=30°（同弧所对的的圆周角相等）；
故答案是：30°．

点评：本题综合考查了圆周角定理、三角形的中位线定理及含30°角的直角三角形．解答此题时，借助于辅助线BC，构建∠CAB与∠CDE是同弧$widehat{BC}$所对的圆周角、OE是直角三角形ABC的中位线，从而在直角三角形AEO中求得∠CAB=30°；然后又有圆周角定理：同弧所对的的圆周角相等，求得∠CDE=30°．