Question

15．如图，在平面直角坐标系第一象限内，直线y=x与直线y=2x的内部作等腰Rt△ABC，是∠ABC=90°，边BC∥x轴，AB∥y轴，点A（1，1）在直线y=x上，点C在直线y=2x上：CB的延长线交直线y=x于点A₁，作等腰Rt△A₁B₁C₁，是∠A₁B₁C₁=90°，B₁C₁∥x轴，A₁B₁∥y轴，点C₁在直线y=2x上…按此规律，则等腰Rt△A_nB_nC_n的腰长为$\frac{{4}^{n}}{{3}^{n+1}}$．

Answer 1

分析 设设AB=a，利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长度，再根据B₁C₁∥x轴，A₁B₁∥y轴，利用y=x求出A${\;}_{{1}_{1}}$点的坐标，A₁B₁=b，则利用y=2x求出点C₁（$\frac{4}{3}$-b，$\frac{4}{3}$+b），从而得到A₁B₁的长度，以此类推，求出A₂B₂、A₃B₃，从而得出规律即可得解．

解答 解：设AB=a，
∵直线y=x与直线y=2x的内部作等腰Rt△ABC，是∠ABC=90°，边BC∥x轴，AB∥y轴，点A（1，1）在直线y=x上，
∴C（，1-a，1+a），
∵点C在直线y=2x上，
∴1+a=2（1-a），
解得a=$\frac{1}{3}$，
∴等腰Rt△ABC的腰长为$\frac{1}{3}$，
∴C（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴A₁的坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），
设A₁B₁=b，则C₁（$\frac{4}{3}$-b，$\frac{4}{3}$+b），
∵点C₁在直线y=2x上，
∴$\frac{4}{3}$+b=2（$\frac{4}{3}$-b）
解得b=$\frac{4}{9}$，
∴等腰Rt△A₁B₁C₁的腰长为$\frac{4}{9}$
∴C₁（$\frac{8}{9}$，$\frac{16}{9}$）
∴A₂（$\frac{16}{9}$，$\frac{16}{9}$），
设A₂B₂=c，则C₂（$\frac{16}{9}$-c，$\frac{16}{9}$+c），
∵点C₂在直线y=2x上，
∴$\frac{16}{9}$+c=2（$\frac{16}{9}$-c），
解得c=$\frac{16}{27}$，
∴等腰Rt△A₂B₂C₂的腰长为$\frac{16}{27}$，
以此类推，
A₃B₃=$\frac{64}{81}$，即等腰Rt△A₃B₃C₃的腰长为$\frac{64}{81}$，
A₄B₄=$\frac{256}{243}$，即等腰Rt△A₄B₄C₄的腰长为$\frac{256}{243}$，
…
∴A_nB_n=$\frac{{4}^{n}}{{3}^{n+1}}$，等腰Rt△A_nB_nC_n的腰长为$\frac{{4}^{n}}{{3}^{n+1}}$，
故答案为$\frac{{4}^{n}}{{3}^{n+1}}$．

点评 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出变换规律．解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．